淡定.淡定在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A（-4.0）B（0.-4）C（2.0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 00:28:52

淡定.淡定
在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A（-4.0）B（0.-4）C（2.0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使以点P.Q.B.O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的的点Q的坐标.

分析：（1）由待定系数法将A（-4,0）,B（0,-4）,C（2,0）三个点的坐标代入y=ax2+bx+c,联立求解即可；
（2）过M作x轴的垂线,设垂足为D．设点M的坐标为（m,n）,即可用含m的代数式表示MD、OD的长,分别求出△AMD、梯形MDOB、△AOB的面积,那么△AMD、梯形MDOB的面积和减去△AOB的面积即为△AMB的面积,由此可得关于S、m的函数关系式,根据函数的性质即可求得S的最大值．
（3）解决此题需要充分利用平行四边形的性质求解．设P（x,1/2x2+x-4）,
①如图1,当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB,则Q（x,-x）．由PQ=OB即可求出结论；
②如图2,当OB为对角线时,那么P、Q的横坐标互为相反数（若P的横坐标为x,则Q的横坐标为-x）,即Q（-x,x）．由P、O的纵坐标差的绝对值等于Q、B纵坐标差的绝对值,得 1/2 x2+x-4=-4-x,求出x的值即可．
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,
则有 {16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=0
解得 {a=12b=1c=-4,
∴抛物线的解析式为y= 12x2+x-4．
（2）过点M作MD⊥x轴于点D,设M点的坐标为（m,n）,
则AD=m+4,MD=-n,n= 12m2+m-4,
∴S=S△AMD+S梯形DMBQ-S△ABO
= 12(m+4)(-n)+12(-n+4)(-m)-12×4×4
=-2n-2m-8
=-2 12(m2+m-4)-2m-8
=-m2-4m（-4＜m＜0）；
∴S最大值=4．
（3）设P（x,12x2+x-4）．
①如图1,当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB,则Q（x,-x）．由PQ=OB,得|-x-（ 12x2+x-4）|=4,解得x=0,-4,-2±2 5．x=0不合题意,舍去．由此可得Q（-4,4）或（-2+2 5,2-2 5）或（-2-2 5,2+2 5）；
②如图2,当OB为对角线时,那么P、Q的横坐标互为相反数（若P的横坐标为x,则Q的横坐标为-x）,即Q（-x,x）．由P、O的纵坐标差的绝对值等于Q、B纵坐标差的绝对值,得 12x2+x-4=-4-x,即x2+4x=0,解得x=0或-4,x=0不合题意,舍去．由此可得Q（-4,4）．
故满足题意的Q点的坐标有四个,分别是（-4,4）,（-2+2 5,2-2 5）,（-2-2 5,2+2 5）．
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