搜搜考试网求高中数学中更相减损术的原理
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/03 19:04:09
求高中数学中更相减损术的原理
人教版高中数学必修三中介绍了更相减损术,但没阐明原理.希望可以帮我简单介绍一下它的原理,勿粘贴,不要太多公式.尽快!
人教版高中数学必修三中介绍了更相减损术,但没阐明原理.希望可以帮我简单介绍一下它的原理,勿粘贴,不要太多公式.尽快!
《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”
证明：(a,b)=(a-nb,b)
不妨设d是a、b的最大公因子.
即a=rd,b=sd.并且(r,s)=1,即存在x、y,使得xr+ys=1.
从而a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(r-ns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1；于是有：d=(a-nb,b),证毕.
证明：(a,b)=(a-nb,b)
不妨设d是a、b的最大公因子.
即a=rd,b=sd.并且(r,s)=1,即存在x、y,使得xr+ys=1.
从而a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(r-ns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1；于是有：d=(a-nb,b),证毕.