搜搜考试网已知函数f（x）=xlnx．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 12:17:21
已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[
，e]
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[
| 1 |
| e |
（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+
3
x．
若存在x∈[
1
e，e]使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+
3
x的最大值．
设h(x)=2lnx+x+
3
x(x＞0)，则h′(x)=
2
x+1-
3
x2=
(x+3)(x-1)
x2．
当x∈[
1
e，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h(
1
e)=-2+
1
e+3e，h(e)=2+e+
3
e，h(
1
e)-h(e)=2e-
2
e-4＞0，
可得h(
1
e)＞h(e)．
所以，当x∈[
1
e，e]时，h（x）的最大值为h（
1
e）=-2+
1
e+3e，
故a≤-2+
1
e+3e（13分）
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+
3
x．
若存在x∈[
1
e，e]使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+
3
x的最大值．
设h(x)=2lnx+x+
3
x(x＞0)，则h′(x)=
2
x+1-
3
x2=
(x+3)(x-1)
x2．
当x∈[
1
e，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h(
1
e)=-2+
1
e+3e，h(e)=2+e+
3
e，h(
1
e)-h(e)=2e-
2
e-4＞0，
可得h(
1
e)＞h(e)．
所以，当x∈[
1
e，e]时，h（x）的最大值为h（
1
e）=-2+
1
e+3e，
故a≤-2+
1
e+3e（13分）