平面直角坐标系,将等腰直角三角形ABC放在第一象限,斜靠两坐标轴上,A(0,2) C(1,0)

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 08:09:49

平面直角坐标系,将等腰直角三角形ABC放在第一象限,斜靠两坐标轴上,A(0,2) C(1,0)
在抛物线上是否存在点P(点B除外）,使△ACP任然是以AC直角边的等腰直角三角形?若在,求所有点P的坐标；若不存在,请说明理由.

过点B作BD⊥x轴,垂足为D,∵∠BCD+∠ACO=90° ,∠ACO+∠OAC =90°；
∴∠BCD=∠CAO；又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC,
∴ △BDC≌△CAO=90°,∴BD=OC=1,CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)
抛物线y=ax^2-2a-2 经过点B(3,1),则得1=9a-3a-2=0 解得a=1/2 ,
所以抛物线的解析式为 y=x^2/2-x/2-2
假设存在点P,使得△ACP是直角三角形:
①若以AC为直角边,点C为直角顶点；则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴.
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MCP1≌△BCD
∴ CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1（－1,－1）；
经检验点P1（－1,－1）在抛物线为y=x^2/2-x/2-2上；
②若以AC为直角边,点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,.同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2（－2,1）,；经检验点P2（－2,1）也在抛物线 y=x^2/2-x/2-2上；
③若以AC为直角边,点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2,AH=OC=1,可求得点P3（2,3）,；经检验点P3（2,3）不抛物线y=x^2/2-x/2-2 上；
故符合条件的点有P1（－1,－1）,P2（－2,1）两个.