搜搜考试网请用高中不等式解决一道初中几何题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 09:52:17
请用高中不等式解决一道初中几何题
已知：正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,CE=1,线段MN在对角线AC上,MN=根号2,连BM,EN.问3、当线段MN在对角线AC上运动时,BM+EN的最小值为多少?
答案是根号13.除了初中几何法,列出具体式子很简单,怎么求最小值呢?
已知：正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,CE=1,线段MN在对角线AC上,MN=根号2,连BM,EN.问3、当线段MN在对角线AC上运动时,BM+EN的最小值为多少?
答案是根号13.除了初中几何法,列出具体式子很简单,怎么求最小值呢?
设：MB=a1,EN=a2,MC的长度为x.我们知道BC=4,EC=1,所以由柯西不等式∑（ai）^2*∑（bi）^2≥（∑aibi）^2,有：(（1/2*a1)^2+(a2)^2)*(2^2+1^2)≥（1/2*a1*2+1*a2)^2.化简得：(1/4（a1）^2+(a2)^2)*5≥（a1+a2）^2.然后在△BMC和△ENC中,由余弦定理得：（a1）^2=BC^2+MC^2-2*BC*MC*cos45°=4^2+x^2-4sqrt2*x ①同样的,（a2）^2=1^2+(x-sqrt2)^2-sqrt2*(x-sqrt2) ②两式相加再乘5.这是一个以x为自变量的二次函数,配方,解出函数的最小值为13,此时x=(5sqrt2)/5.再次计算知：a1=sqrt8.32,a2=sqrt0.52,MB：NE=BC:EC,满足柯西不等式等号成立条件bi=λai.这里的λ就是△ENC和△BMC的相似比.开根号,所以（BM+EN）min=sqrt13.我刚初三毕业,可能有错误,若有希望能指出.