（2011•马鞍山二模）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 08:07:24

（2011•马鞍山二模）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式．

此题答案不唯一
设所求解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），（其中x₁＜x₂），则
其图象与x轴两交点分别是A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交点坐标是（0，ax₁x₂）．
因为交点式a（x-x₁）（x-x₂），
又因为与y轴交点的横坐标为0，
所以a（0+x₁）（0+x₂），也就是ax₁x₂，
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x₂-4=4-x₁，即：x₁+x₂=8　①
∵S△ABC=3，∴（x₂-x₁）•|ax₁x₂|=6，即：x₂-x₁=
6
|ax1x2|②
①②两式相加减，可得：x2=4+
3
|ax1x2|，
x₁=4-
3
|ax1x2|，
∵x₁，x₂是整数，ax₁x₂也是整数，
∴ax₁x₂是3的约数，共可取值为：±1，±3．　
当ax₁x₂=±1时，x₂=7，x₁=1，a=±
1
7
当ax₁x₂=±3时，x₂=5，x1=₃，a=±
1
5
因此，所求解析式为：y=±
1
7（x-7）（x-1）或y=±
1
5（x-5）（x-3）
即：y₁=
1
7x²-
8
7x+1，
y₂=-
1
7x²+
8
7x-1．
y₃=
1
5x²-
8
5x+3，
y₄=-
1
5x²+
8
5x-3．
故答案为：y=
1
5x²-
8
5x+3（答案不唯一）．