用数学归纳法证明:(1+1)(1+1/4)-----(1+1/(3n-2))>三次根号(3n+1)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 10:55:20
用数学归纳法证明:(1+1)(1+1/4)-----(1+1/(3n-2))>三次根号(3n+1)
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3n-2)] > ³√(3n+1)
证明:
1°
当n=1时,
原不等式左边=1+1=2=³√8;
原不等式右边=³√(3*1+1)=³√4
显然:³√8>³√4
因此,当n=1时,原不等式成立
当n=2时,
原不等式左边=(1+1)(1+1/4)=2*5/4=³√(125/8);
原不等式右边=³√(3*2+1)=³√7
显然:³√(125/8) > ³√7
因此,当n=2时,原不等式成立
2°
假设当n=k时,原不等于成立,即:
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3k-2)] > ³√(3k+1)
当n=k+1时,则:
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3k-2)][1+1/(3(k+1)-2)] > [³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)]
若要原等式成立,只需证明:
[³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)] > ³√[3(k+1)+1] = ³√(3k+4)
即需证明:
[³√(3k+1)]*[(3k+4)/(3k+1)] > ³√(3k+4)
即需证明:
(3k+1)*[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)
即需证明:
[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)/(3k+1)
因为:(3k+4)/(3k+1) > 1,
因此:
[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)/(3k+1) 成立
所以:
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3k-2)][1+1/(3(k+1)-2)] > [³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)] > ³√[3(k+1)+1] = ³√(3k+4) 成立
综上,根据数学归纳法,原不等式成立
证明:
1°
当n=1时,
原不等式左边=1+1=2=³√8;
原不等式右边=³√(3*1+1)=³√4
显然:³√8>³√4
因此,当n=1时,原不等式成立
当n=2时,
原不等式左边=(1+1)(1+1/4)=2*5/4=³√(125/8);
原不等式右边=³√(3*2+1)=³√7
显然:³√(125/8) > ³√7
因此,当n=2时,原不等式成立
2°
假设当n=k时,原不等于成立,即:
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3k-2)] > ³√(3k+1)
当n=k+1时,则:
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3k-2)][1+1/(3(k+1)-2)] > [³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)]
若要原等式成立,只需证明:
[³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)] > ³√[3(k+1)+1] = ³√(3k+4)
即需证明:
[³√(3k+1)]*[(3k+4)/(3k+1)] > ³√(3k+4)
即需证明:
(3k+1)*[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)
即需证明:
[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)/(3k+1)
因为:(3k+4)/(3k+1) > 1,
因此:
[(3k+4)/(3k+1)]³ > (3k+4)/(3k+1) 成立
所以:
(1+1)(1+1/4).[1+1/(3k-2)][1+1/(3(k+1)-2)] > [³√(3k+1)]* [1+1/(3(k+1)-2)] > ³√[3(k+1)+1] = ³√(3k+4) 成立
综上,根据数学归纳法,原不等式成立
用数学归纳法证明:(1+1)(1+1/4)-----(1+1/(3n-2))>三次根号(3n+1)
用数学归纳法证明 n属于正整数 n>1 求证1/根号1*2+1/根号2*3+...+1/根号n*(n+1)<根号n
用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2
用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)
用数学归纳法证明(2^3n)-1 (n属于N*)能被7整除
急 请用数学归纳法证明An=根号n-根号(n-1)
数学归纳法证明 < {(n+1)/2 }的n 次方
用数学归纳法证明:1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号n
用数学归纳法证明1+2+3+...+(2n-1)=n²
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)在线等
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)
当n属于N且n>1时,求证1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n.请用数学归纳法证明