已知数列{an}的前n项和为Sn.对任何n属于N*都有Sn=2/3an-1/3,若1﹤Sk﹤9(k属于N*),则k的值-
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/30 11:13:04
已知数列{an}的前n项和为Sn.对任何n属于N*都有Sn=2/3an-1/3,若1﹤Sk﹤9(k属于N*),则k的值------
∵Sn=2/3 an-1/3 ∴3Sn=2an-1 ∴3Sn=2(Sn-Sn-1)-1
∴Sn=﹣2Sn-1-1 ∴Sn+1/3=2(Sn-1+1/3) ∴(Sn+1/3)/(Sn-1+1/3)=2
∵Sn=2/3 an-1/3 ∴S1=2/3 a1-1/3 ∵S1=a1 ∴S1=﹣1
∴﹛Sn+1/3﹜是首项为S1+1/3=﹣2/3公比为2的等比数列
∴Sn+1/3=(S1+1/3)×(﹣2)^(n-1)=﹣2/3×(﹣2)^(n-1)=(﹣2)^n /3
∴Sn=[(﹣2^n)-1]/3
∵1<Sk<9 ∴1<[(﹣2^k)-1]/3<9 ∴4<(﹣2)^k<28
∵k为奇数时,(﹣2)^k<0 ∴k为偶数 ∴4<2^k<28
∴2²<2^k<28<32=2^5 ∴2<k<5 ∵k为偶数 k∈N* ∴k=4
∴Sn=﹣2Sn-1-1 ∴Sn+1/3=2(Sn-1+1/3) ∴(Sn+1/3)/(Sn-1+1/3)=2
∵Sn=2/3 an-1/3 ∴S1=2/3 a1-1/3 ∵S1=a1 ∴S1=﹣1
∴﹛Sn+1/3﹜是首项为S1+1/3=﹣2/3公比为2的等比数列
∴Sn+1/3=(S1+1/3)×(﹣2)^(n-1)=﹣2/3×(﹣2)^(n-1)=(﹣2)^n /3
∴Sn=[(﹣2^n)-1]/3
∵1<Sk<9 ∴1<[(﹣2^k)-1]/3<9 ∴4<(﹣2)^k<28
∵k为奇数时,(﹣2)^k<0 ∴k为偶数 ∴4<2^k<28
∴2²<2^k<28<32=2^5 ∴2<k<5 ∵k为偶数 k∈N* ∴k=4
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