韩信点兵那算术式怎么算的

韩信点兵那算术式怎么算的

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然後再加3,得9948（人）.在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题：“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中的解同余式.① 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?除以3余2的数有：2,5,8,11,14,17,20,23… 它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11… 除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29… 它们除以12的余数是：1,5,9,1,5,9,….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5＋12×整数,整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.②一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.先列出除以3余2的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26… 再列出除以5余3的数：3,8,13,18,23,28… 这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数,列出这一串数是8,23,38,…,再列出除以7余2的数 2,9,16,23,30… 就得出符合题目条件的最小数是23.事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人 中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」 答曰：「二十三」 术曰：「三三数剩一置几何?答曰：五乘七乘二得之一百四.五五数剩一复置几何?答曰,三乘七得之二十一是也.七七数剩一又置几何?答曰,三乘五得之十五是也.三乘五乘七,又得一百零五.则可知已,又三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得.」 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.1.算两两数之间的能整除数 2.算三个数的能整除数 3.用1中的三个整除数之和减去2中的整除数之差(有时候是倍数) 4.计算结果即可 韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一排,多出2人；站5人一排,多出4人；站7人一排,多出6人.韩信马上说出人数：1049 如多一人,即可凑整.幸存人数应在1000~1100人之间,即得出：3乘5乘7乘10减1=1049（人） 到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知.这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知道所求的数了.