求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的侧面积
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/25 08:01:36
求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的侧面积
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考虑半个心形线(θ属于0到180度),每一段弧元(ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2))绕极轴转成一个梯形环面元,面积等于2πR*ds,R是该弧到极轴的距离:
R=rsinθ.
所以立体的侧面积就是:
2πRds的积分,把上面的R和ds代入,并利用条件代入r的表达式.
结果得到一个不太复杂的形式:
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2,可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*(x-x^3/3),x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分.当然,如果说心形线凹进去的部分不算侧面积,只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,并把它做为积分上限即可.
结果分别是:
(32πa^2)/3 和 6sqrt(3)πa^2
R=rsinθ.
所以立体的侧面积就是:
2πRds的积分,把上面的R和ds代入,并利用条件代入r的表达式.
结果得到一个不太复杂的形式:
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2,可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*(x-x^3/3),x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分.当然,如果说心形线凹进去的部分不算侧面积,只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,并把它做为积分上限即可.
结果分别是:
(32πa^2)/3 和 6sqrt(3)πa^2
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