搜搜考试网如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.（
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 03:02:25
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.（1）求证：BC⊥BE;（2）求正方形ABCD的边长；（3）求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.主要是第2,3问.发个手写的照片我想会更好;
分析：（I）根据AE⊥底面BEFC,可得AE⊥BC,而AB⊥BC,又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件,则BC⊥面ABE,根据线面垂直的性质可知BC⊥BE；
（II）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求；
（III）以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
n,然后求出法向量与向量EF的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值．
（I）∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC,（1分）
又BC⊂面BEFC∴AE⊥BC（2分）
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE（3分）
又BE⊂面ABE∴BC⊥BE（4分）
（II）∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF∥BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径（1分）
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2（2分）
解得x=25,即正方形ABCD的边长为253分）
（III）如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A（25,0,2）,B（25,4,0）,E（25,0,0）,
FA=（25,0,2）,
FB=（25,4,0）,
FE=（25,0,0）（1分）
设面AEF的法向量为
n=（x,y,z）,则
n•FA＝(x,y,z)•(25,0,−2)＝2
5x−2z＝0
n•FB
＝(x,y,z)•(25,4,0)＝25x−4y＝0（3分）
令x=1,则y＝52
,
z＝5,即
n=（1,
5
2
,
5
）（4分）
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ＝|COS＜
n
,
EF
＞|＝|
n
•
EF
|
n
|•|
EF
|
|＝|
25
25
•
5
4
+1+5
|＝
229
29
（6分）
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
229
29
再问： 你好，第三问我们老师要求不用向量法求，可不可以帮我用另一种方法求，谢谢了！！
再问： 困难
再答： 你老师有点偏激
再问： 哈哈，不是。。因为高考的这类题一般用向量法是很难证的，根据以往的高考题。
再答： 你看看 链接：http://res.tongyi.com/resources/article/student/senior/2011/tbtk/0411/1/02.htm
再问： 嗯嗯，谢谢
（II）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求；
（III）以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
n,然后求出法向量与向量EF的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值．
（I）∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC,（1分）
又BC⊂面BEFC∴AE⊥BC（2分）
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE（3分）
又BE⊂面ABE∴BC⊥BE（4分）
（II）∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF∥BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径（1分）
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2（2分）
解得x=25,即正方形ABCD的边长为253分）
（III）如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A（25,0,2）,B（25,4,0）,E（25,0,0）,
FA=（25,0,2）,
FB=（25,4,0）,
FE=（25,0,0）（1分）
设面AEF的法向量为
n=（x,y,z）,则
n•FA＝(x,y,z)•(25,0,−2)＝2
5x−2z＝0
n•FB
＝(x,y,z)•(25,4,0)＝25x−4y＝0（3分）
令x=1,则y＝52
,
z＝5,即
n=（1,
5
2
,
5
）（4分）
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ＝|COS＜
n
,
EF
＞|＝|
n
•
EF
|
n
|•|
EF
|
|＝|
25
25
•
5
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+1+5
|＝
229
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（6分）
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
229
29
再问： 你好，第三问我们老师要求不用向量法求，可不可以帮我用另一种方法求，谢谢了！！
再问： 困难
再答： 你老师有点偏激
再问： 哈哈，不是。。因为高考的这类题一般用向量法是很难证的，根据以往的高考题。
再答： 你看看 链接：http://res.tongyi.com/resources/article/student/senior/2011/tbtk/0411/1/02.htm
再问： 嗯嗯，谢谢
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.（
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