搜搜考试网求椭圆4x^2+y^2=4的二阶导数
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 01:16:45
求椭圆4x^2+y^2=4的二阶导数
4x^2+y^2=4得x^2+y^2/4=1
显然y'=-4x/y
两边再求导
y''=[(-4*y)-(-4x*y')]/y²
y''=4(xy'-y)/y²
如果想得到不含y'的表达式,把y'的表达式代进去,可得
y''=4[x(-4x/y)-y]/y²
y''=4(-4x²-y²)/(y²*y)
y''=-4(4x²+y²)/y³
因为4x²+y²=4
y''=-4×4/y³
y''=-16/y³
把它看作隐函数求导的时候,要注意y是x的函数
再问： 不好意思，为什么分母平方后不用对分母求导，分母那个y不是复合函数吗？不是应该y"={(-4y+4xy')/y^2}*y'吗？
再答： 两函数相除的符合函数求导时，就是分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数之后除以分母的平方，分母平方时是不需要看它是不是符合函数的。 (g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2 符合函数求导可要熟练哦~
再问： 但是如果是这样那么1/x^2的导数怎么求？
再答： 法一：(1/x^2)'=[x^(-2)]'=-2x^(-3) 法二：(1/x^2)'=(0×x^2-1×2x)/x^4=-2x/x^4=-2/x^3=-2x^(-3)
再问： 嗯嗯非常谢谢，那什么情况下需要看它是不是复合函数呢？
再答： 复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为 y'=f'（g（x））*g'（x） 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 例题：y=(2x^3-x+1/x)^4 设u=2x^3-x+1/x，y=u^4 则y'=(u^4)'*u'=4u^3*(6x^2-1/x^2) =4(2x^3-x+1/x)^3*(6x^2-1/x^2)
显然y'=-4x/y
两边再求导
y''=[(-4*y)-(-4x*y')]/y²
y''=4(xy'-y)/y²
如果想得到不含y'的表达式,把y'的表达式代进去,可得
y''=4[x(-4x/y)-y]/y²
y''=4(-4x²-y²)/(y²*y)
y''=-4(4x²+y²)/y³
因为4x²+y²=4
y''=-4×4/y³
y''=-16/y³
把它看作隐函数求导的时候,要注意y是x的函数
再问： 不好意思，为什么分母平方后不用对分母求导，分母那个y不是复合函数吗？不是应该y"={(-4y+4xy')/y^2}*y'吗？
再答： 两函数相除的符合函数求导时，就是分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数之后除以分母的平方，分母平方时是不需要看它是不是符合函数的。 (g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2 符合函数求导可要熟练哦~
再问： 但是如果是这样那么1/x^2的导数怎么求？
再答： 法一：(1/x^2)'=[x^(-2)]'=-2x^(-3) 法二：(1/x^2)'=(0×x^2-1×2x)/x^4=-2x/x^4=-2/x^3=-2x^(-3)
再问： 嗯嗯非常谢谢，那什么情况下需要看它是不是复合函数呢？
再答： 复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为 y'=f'（g（x））*g'（x） 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 例题：y=(2x^3-x+1/x)^4 设u=2x^3-x+1/x，y=u^4 则y'=(u^4)'*u'=4u^3*(6x^2-1/x^2) =4(2x^3-x+1/x)^3*(6x^2-1/x^2)