圆锥曲线问题.已知椭圆C的中点在原点,焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X^2的焦点,离心率等于2倍根号5

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/16 04:55:59

圆锥曲线问题.
已知椭圆C的中点在原点,焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X^2的焦点,离心率等于2倍根号5/5.
1.求椭圆C的标准方程 2.过椭圆C的右焦点作直线L交椭圆C于A,B两点,交Y轴于M点,若向量MA=Q向量AF,向量MB=W向量BF,求证Q+W为定值.

1.抛物线y=(1/4)x^
x^=4y
可知抛物线焦点为(0,1)
由于椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,且一个顶点恰好是抛物线焦点(0,1),故椭圆C的半短轴b=1
设其半长轴为a,半焦距为c,则有：a^-c^=b^=1
根据已知离心率e=c/a=2√5/5,可联立上述两式得：
a=√5,c=2
故,椭圆标准方程为:
x^/5 + y^=1
2.椭圆的右焦点为F(2,0),则可设过F的直线L的斜率为k,其方程为：y=k(x-2)=kx-2k
联立直线L：y=kx-2k 与椭圆C：x^/5 +y^=1,消去y,可得到关于x的一元二次方程：
(5k^+1)x^-20k^x+(20k^-5)=0
设L与C的两个交点为：A(x1,y1),B(x2,y2),则根据上述方程可列出：
x1+x2=20k^/(5k^+1) ①
x1*x2=(20k^-5)/(5k^+1) ②
A,B亦在直线L上,故有：
y1=kx1-2k
y2=kx2-2k
于是有：
y1+y2=k(x1+x2)-4k
y1*y2=k^[x1*x2-2(x1+x2)+4]
分别将①,②式代入上两式,可得出：
y1+y2=-4k/(5k^+1) ③
y1*y2=-k^/(5k^+1) ④
直线L与y轴的交点M,可根据其解析式令x=0,得：M(0,-2k)
这样,四个点的坐标全都可表示出,为：
F(2,0),M(0,-2k),A(x1,y1),B(x2,y2)
根据向量与坐标的关系,可列出几个向量的表达式（“向量”两个字以下省略）：
MA={x1,y1+2k}
MB={x2,y2+2k}
AF={2-x1,-y1}
BF={2-x2,-y2}
MA=q*AF,MB=w*BF
q=MA/AF,w=MB/BF
q+w=MA/AF + MB/BF=(MA*BF+MB*AF)/(AF*BF) ⑤
根据四个向量各自含x1,x2,y1,y2,k的表达式,可求出：
MA*BF=x1*(2-x2)+(y1+2k)*(-y2)=2x1-x1*x2-y1*y2-2ky2
MB*AF=x2*(2-x1)+(y2+2k)*(-y1)=2x2-x1*x2-y1*y2-2ky1
两式相加得：
MA*BF+MB*AF=2[(x1+x2)-k(y1+y2)-x1*x2-y1*y2] ⑥
另有：
AF*BF=(2-x1)*(2-x2)+(-y1)*(-y2)=x1*x2+y1*y2-2(x1+x2)+4 ⑦
将①,②,③,④式分别代入⑥,⑦式,最终化简可得：
MA*BF+MB*AF=10*(k^+1)/(5k^+1)
AF*BF=(-1)*(k^+1)/(5k^+1)
两式相比,并联合⑤式,最终可得：
q+w=-10
∴q+w为定值-10

圆锥曲线问题.已知椭圆C的中点在原点,焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X^2的焦点,离心率等于2倍根号5 数学椭圆方程!已知椭圆c的中点在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线x平方=4y的焦点,离心率等于2根号5/5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上离心率是5/2倍根号5,它的一个顶点恰好是抛物线X^2=4y的焦点已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=1/4x^2的焦点,离心率等于根号2/2 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X2的焦点,离心率为(2根号5)/5!求椭圆的标已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于1/2,它的一个顶点恰好是抛物线y^2=4√5x的焦点, 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X2的焦点,离心率为(2根号5)/5 已知椭圆C的焦点在X轴上,它的一个顶点恰好是抛物线Y=1/4X平方的焦点,他的离心率为2倍根号5/5 已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,它的一个顶点恰好是抛物线x²＝8√3y的焦点.求椭圆C的已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=¼x²的焦点,离心率等于√2/2 已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆c的离心率1/2,一个顶点是抛物线X2=-4根号下3y的焦点.(1)求椭圆的标... 已知中心在坐标原点,焦点F1、F2再x轴上的椭圆C的离心率为根号3/2,抛物线X^2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点（