已知函数y=4^x-3*2^x+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/01 12:46:53
已知函数y=4^x-3*2^x+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是
要解题思路 详细过程以及每一步的思路
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因为:y=4^x-3×2^x+3,y∈[1,7].
所以:1≤4^x-3×2^x+3≤7
-2≤4^x-3×2^x≤4
-2≤(2^2)^x-3×2^x≤4
-2≤(2^x)^2-3×2^x≤4
即:(2^x)^2-3(2^x)+2≥0……………………(1)
和:(2^x)^2-3(2^x)-4≤0……………………(2)
由(1),有:(2^x-2)(2^x-1)≥0
有:2^x-2≥0、2^x-1≥0
或:2^x-2≤0、2^x-1≤0
解得:2^x≥2,即:x≥1
或:2^x≤1,即:x≤0
即:x∈(-∞,0]∪[1,∞).
由(2),有:(2^x-4)(2^x+1)≤0
有:2^x-4≥0、2^x+1≤0
或:2^x-4≤0、2^x+1≥0
解得:-1≤2^x≤4,即:x≤2
即:x∈[-∞,2].
综上所述,有:x∈(-∞,0]∪[1,2].
所以:1≤4^x-3×2^x+3≤7
-2≤4^x-3×2^x≤4
-2≤(2^2)^x-3×2^x≤4
-2≤(2^x)^2-3×2^x≤4
即:(2^x)^2-3(2^x)+2≥0……………………(1)
和:(2^x)^2-3(2^x)-4≤0……………………(2)
由(1),有:(2^x-2)(2^x-1)≥0
有:2^x-2≥0、2^x-1≥0
或:2^x-2≤0、2^x-1≤0
解得:2^x≥2,即:x≥1
或:2^x≤1,即:x≤0
即:x∈(-∞,0]∪[1,∞).
由(2),有:(2^x-4)(2^x+1)≤0
有:2^x-4≥0、2^x+1≤0
或:2^x-4≤0、2^x+1≥0
解得:-1≤2^x≤4,即:x≤2
即:x∈[-∞,2].
综上所述,有:x∈(-∞,0]∪[1,2].
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