已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)*f(y),且f(-1)=1,f(27)=0,当0≤x<1时,f
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 11:16:26
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)*f(y),且f(-1)=1,f(27)=0,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1)
(1)判断f(x)奇偶性
(2)判断f(x)在[0,+∞)的单调性并证明
(3)若a≥0且f(a+1)≤三次根号9,求实数a的范围
(1)判断f(x)奇偶性
(2)判断f(x)在[0,+∞)的单调性并证明
(3)若a≥0且f(a+1)≤三次根号9,求实数a的范围
:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)•f(-1),
∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R
∴f(x)为偶函数.
(2)若x≥0,则f(x)=f(x•x)=f(x)•f(x)=[f(x)]2≥0.
若存在x0>0,使得f(x0)=0,则f(27)=f(x0•27x0)=f(x0)f(27x0)=0,与已知矛盾,
∴当x>0时,f(x)>0
设0≤x1<x2,则0≤x1x2<1,
∴f(x1)=f(x1x2•x2)=f(x1x2)•f(x2),
∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
∴0≤f(x1x2)<1,
∴f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)•f(9)=f(3)•f(3)•f(3)=[f(3)]3,
∴9=[f(3)]3,
∴f(3)=39,
∵f(a+1)≤39,
∴f(a+1)≤f(3),
∵a≥0,
∴(a+1)∈[0,+∞),3∈[0,+∞),
∵函数在[0,+∞)上是增函数.
∴a+1≤3,即a≤2,
又a≥0,
故0≤a≤2.
再问: ∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
∴0≤f(x1x2)<1--------为什么要小于1??∴f(x1)=f(x1x2•x2)=f(x1x2)•f(x2)------------这个为什么?(2)没懂啊
∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R
∴f(x)为偶函数.
(2)若x≥0,则f(x)=f(x•x)=f(x)•f(x)=[f(x)]2≥0.
若存在x0>0,使得f(x0)=0,则f(27)=f(x0•27x0)=f(x0)f(27x0)=0,与已知矛盾,
∴当x>0时,f(x)>0
设0≤x1<x2,则0≤x1x2<1,
∴f(x1)=f(x1x2•x2)=f(x1x2)•f(x2),
∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
∴0≤f(x1x2)<1,
∴f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)•f(9)=f(3)•f(3)•f(3)=[f(3)]3,
∴9=[f(3)]3,
∴f(3)=39,
∵f(a+1)≤39,
∴f(a+1)≤f(3),
∵a≥0,
∴(a+1)∈[0,+∞),3∈[0,+∞),
∵函数在[0,+∞)上是增函数.
∴a+1≤3,即a≤2,
又a≥0,
故0≤a≤2.
再问: ∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
∴0≤f(x1x2)<1--------为什么要小于1??∴f(x1)=f(x1x2•x2)=f(x1x2)•f(x2)------------这个为什么?(2)没懂啊
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