已知BD,CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,判断线段AP和AQ的位置,大小

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 06:15:41

已知BD,CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,判断线段AP和AQ的位置,大小关系.
并加以证明.【写出证明过程】

是打错了，点P是图中的点F。

AQ=AF,AQ⊥AF
这道题目是靠△ABF与△QCA的全等为基础完成的,
可以发现 AB=CQ,AC=FB
要么 SSS全等（AQ=AF）,要么SAS全等（∠ABF=∠QCA）
显然AQ=AF是要由△ABF≌△QCA
所以要证∠ABF=∠QCA
注意到 Rt△AEC中,∠QCA+∠BAC=90°
Rt△ABD中,∠ABF+∠BAC=90°
∴∠ABF=∠QCA
接下来就简单了
∴∠3=∠F
∵∠F+∠4=90°
∴∠3+∠4=90°
即AQ⊥AF
证：∵BD,CE是△ABC的高
∴Rt△AEC中,∠ADB=90°
Rt△ABD中,∠AEC=90°
∴∠1+∠BAC=90°（直角三角形两锐角互余）
∠2+∠BAC=90°
∴∠1=∠2
△ABF与△QCA中
AB=CQ,
∠1=∠2
AC=FB
∴△ABF≌△QCA（SAS）
∴AQ=AF
∴∠3=∠F
∵∠F+∠4=90°
∴∠3+∠4=90°
即AQ⊥AF