设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 15:34:48
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解
方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O
对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O
由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O
这样证明对吗.
方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O
对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O
由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O
这样证明对吗.
要多说明一点,你取的k是最小的使得A^k=0的自然数k.
等等-由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O-好像有问题...我想一下.
这句话应该是对的,但是我要证明的话要用到Jordan形式...(就是只有对角线上面有1的那种)
我想一下有没有简单的解...
简单点的解:
我们现在其实是要证明X->AX-XB这个线性映射是个单射.这个映射有个矩阵.
不难证明这个矩阵的特征值就是所有的(a-b),a和b为A或B的特征值.
但是A是幂零元,所以A的特征值都是0.
所以只剩下了B的特征值,但B的特征值都不是0因为B可逆.
所以X->AX-XB也是一个可逆的映射.
所以AX-XB的解唯一.但是X=0为显然解,所以是唯一解.
等等-由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O-好像有问题...我想一下.
这句话应该是对的,但是我要证明的话要用到Jordan形式...(就是只有对角线上面有1的那种)
我想一下有没有简单的解...
简单点的解:
我们现在其实是要证明X->AX-XB这个线性映射是个单射.这个映射有个矩阵.
不难证明这个矩阵的特征值就是所有的(a-b),a和b为A或B的特征值.
但是A是幂零元,所以A的特征值都是0.
所以只剩下了B的特征值,但B的特征值都不是0因为B可逆.
所以X->AX-XB也是一个可逆的映射.
所以AX-XB的解唯一.但是X=0为显然解,所以是唯一解.
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解
设A为n阶矩阵,I是n阶单位阵,且存在正整数k≥2,使A∧k=O,而A∧(k-1)≠O证明I-A可逆
设A为n阶矩阵 存在正整数k 使得A的k次方等于O 证明:A不可逆
设A为n阶矩阵,且A不是零矩阵,且存在正整数k≥2,使A^k=0,证明:E-A可逆,且(E-A)=E+A+A^2+……A
一道线性代数的题目设A为n阶方阵,A^k=O,k属于正整数,求证I-A可逆,并写出逆矩阵的表达式.
设A为n阶矩阵,A≠O且存在正整数k≧2,使A∧k=O.求证E-A可逆且(E-A)-¹=E+A+A²
设A,B,c均为n阶方阵,B可逆,则矩阵方程A+BX=C的解
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使A的k次方为o矩阵,求证矩阵A的特征值为0
设A为n阶方阵,若对任意n*1矩阵B,AX=B都有解,则A是可逆阵,证明
证明在复数域上若m阶方阵A与n阶方阵B没有公共的特征根,则矩阵方程AX=XB只有零解.
若A为n阶方阵,k为非零常数,则|kA|=?A,k|A| B,|k||A| C,(k∧n
设A为n阶方阵,且A^k=0(k为正整数),则( ).