伯努利方程的应用题目一容器有气体,气体的密度ϱ和压力p的关系是p=Kϱ^Γ, K,Γ是常数(>1

伯努利方程的应用题目
一容器有气体,气体的密度ϱ和压力p的关系是p=Kϱ^Γ, K,Γ是常数(>1).容器里的压力保持在np0,里面的气体通过一条小管排到外面(压力p0).如果出口气体的密度是ϱ0,证明气体在出口处的速度是
根号 [2*p0(n^b-1) / (bϱ0)] , b=(Γ-1)/Γ
容器底部的运动可以忽略,体积力为0,

气体在容器中压强处处相等
取容器底部与小管等高的气体和外面出口处的气体作为研究对象
应用伯努利方程,有
p1+ρgh1+1/2*ρ1v1^2=p2+ρgh2+1/2*ρ2v2^2
此处,有 p1=np0,p2=p0; h1=h2; ρ2=ρ0
上式即可化简为 np0+1/2*ρ1v1^2=p0+1/2*ρ0v2^2
即 (n-1)p0+1/2*ρ1v1^2=1/2*ρ0v2^2 (1)
由进出口质量守恒,有
m1=ρ1*Sv1=ρ2*Sv2=m2 => v1=ρ2/ρ1*v2=ρ0/ρ1*v2 (2)
将(2)代入(1)式,可得
(n-1)p0+1/2*ρ1*(ρ0/ρ1*v2)^2=1/2*ρ0v2^2
化简可得 2p0(n-1)=ρ0(1-ρ0/ρ1)v2^2
即为 v2=√{2p0(n-1)/[ρ0(1-ρ0/ρ1)]} (3)
由p=Kρ^Γ可得 ρ1=(p1/K)^(1/Γ)=(np0/K)^(1/Γ)
=n^(1/Γ)*(p0/K)^(1/Γ) (4)
ρ0=(p0/K)^(1/Γ) (5)
∴ (5)/(4),可得 ρ0/ρ1=n^(-1/Γ) (6)
将(6)代入(3)式,可得
v2=√{2p0(n-1)/[ρ0(1-n^(-1/Γ)]}
只差最后一步,始终化不到所给结果,难道所给有误差?
若是b=1-n^(-1/Γ),分子的n没有指数就对了
再问： 我照着你的方法做也没做出来，就差一点点。 有以下问题： 1.你说的 ‘‘取容器底部与小管等高的气体和外面出口处的气体作为研究对象’’ 可以指的是那管子的进口处和出口处么？ 2.管子的出口处的压强是常数么？题目问的速度是出口处的速度，但是出口处的压强是不是等于气压的（p0指的是气压）？同样的问题在进口处的压强和密度。是不是应该用积分算？(p不是固定时的伯努利公式）
再答： 1、就是进口和出口 2、出口处的压强是p0，但既然他说压强符合他给的公式，出口处应该也符合， 所以我4、5两个等式直接套的那个公式 压强和密度都是强度性质，不能用积分吧，积分变量是什么？高度？体积？时间？
再问： 伯努利公式（在p和ρ有变化的情况下）是积分dp/ρ的。不然我想不到哪里出错了
再答： 查了一下，确实是有个可压缩流体的伯努利方程： ∫dp/ρ+gh+v^2/2=常数； 不好意思，孤陋寡闻了 用这个方程重新列式可得 ∫dp/ρ1+gh1+v1^2/2=∫dp/ρ2+gh2+v2^2/2 容器底部的运动可以忽略，即可认为v1=0 即有 2∫dp/ρ=v2^2 (1) 由p=Kρ^Γ可得 1/ρ=(p/K)^(-1/Γ)=p^(-1/Γ)*K^(1/Γ) 代入(1)式左边积分，可得 2∫dp/ρ=2K^(1/Γ)∫p^(-1/Γ)dp =2K^(1-b)*[p1^b-p2^b]/b {注：b=1-1/Γ=(Γ-1)/Γ} =2K^(1-b)*[(np0)^b-p0^b]/b =2K^(1-b)*[(n^b-1)p0^b]/b =2K^(1-b)*[(n^b-1)p0*p0^(b-1)]/b =2[(p0/K)^(b-1)]*[(n^b-1)p0]/b =2[p0(n^b-1)]/(bρ0) (2) {注：由1/ρ0=(p0/K)^(-1/Γ)=(p0/K)^(b-1)换算而来} 将(2)代入(1)式，即有 2p0(n^b-1)/(bρ0)=v2^2 ∴ v2=√[2p0(n^b-1)/(bρ0)]，终于得证 （PS：那个v1=0，昨天刚开始的时候就想让它等于0的，但后来发现 推不出最后结果，就只好让它不等于0，想不到它真的等于0； 看来“...运动可以忽略”那句话还真不能忽略） （PS PS：估计你自己现在也做出来了吧，我就当画蛇添足了）