推导球的表面积公式的疑惑

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 17:04:29

推导球的表面积公式的疑惑
若把球分割成多个圆柱进行积分得到的公式是S=π^2 * r^2,这是什么原因,一定要分割成小圆锥吗?

球怎样分割成多个圆柱呢?你能详细说一下吗?看看有没有问题
再问：就是竖直向上一层一层
再答：这样不能等效为圆柱的，因为每一层的表面的倾斜角由赤道的90度逐渐缩小到北极的0度你等效为圆柱的话你每一层都会损失一部分的面积，所以最后的结果是偏小的你可以试试每层圆柱的侧面积除以倾斜角的余弦，但这样做也不是保证能推出来的如有需要，你可以看看有关“定积分”的定义、存在性等方面的内容希望能帮到你~~~~
再问：但是当高趋向于0时它不就可以看成圆柱了吗？用同样的分割法推导体积公式时又是正确的这是什么缘故？
再答：经验上，正确的分割常会有这样的特点：若分别取左边界和右边界计算微元的值，刚好一个是偏大的一个是偏小的，而且当分割得很小很小时，左右边界逐渐变成同一个东西。正因为有这个特点，才可以在左右边界范围内随便选一个值来当做微元的代表。比如说圆柱分割法求体积，取靠上的一圈算偏小、靠下的一圈偏大，高趋于0时上下两个圆是趋于相同的；但是圆柱求面积就不是了，取靠上、靠下的一圈算都是偏小的（因为没有考虑到倾斜角的因素），事实上在中间取也是偏小的，所以它们都不能代表这个微元。不过，以上的说法是不严格的。要真正理解，还是请自学下“定积分”吧~~

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