高数证明题设函数f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x≥0有f''(x)≥k,其中k大于0,为一个常数,f(0
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 09:19:48
高数证明题
设函数f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x≥0有f''(x)≥k,其中k大于0,为一个常数,f(0)< 0.
证明f(x)在(0,∞)有且仅有一个零点
设函数f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x≥0有f''(x)≥k,其中k大于0,为一个常数,f(0)< 0.
证明f(x)在(0,∞)有且仅有一个零点
证明:构造函数g(x)=(1/2)kx²+f'(0)x+f(0),容易验证g(0)=f(0).
∵g'(x)=kx+f'(0)
∴g'(0)=f'(0),g''(x)=k
[f'(x)-g'(x)]'=f''(x)-g''(x)=f''(x)-k≥0
∴f'(x)-g'(x)在[0,∞)单调递增,
又∵f'(0)-g'(0)=0
∴f'(x)-g'(x)≥0
∵[f(x)-g(x)]’=f'(x)-g'(x)≥0
∴f(x)-g(x)在[0,∞)单调递增
又∵f(0)-g(0)=0
∴f(x)-g(x)≥0,即f(x)≥g(x)=(1/2)kx²+f'(0)x+f(0),
∵k>0
∴ 当x→+∞时,lim g(x)=+∞
f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,
故f(x)在[0,∞)上连续
而f(0)<0,f(+∞)>0
由连续函数的介值定理可知f(x)在(0,∞)必定有零点
下面证明零点的唯一性.
∵f''(x)=k>0对x≥0成立
∴f'(x)是[0,∞)上严格单调递增的连续函数
∴f'(x)在[0,∞)上最多只有一个零点.
若f'(x)没有零点,由于f(0)<0,f(+∞)>0
故f(x)是[0,∞)上严格单调递增的连续函数,零点当然唯一;
若f'(x)有一个零点,同理由于f(0)<0,f(+∞)>0;
故此时f(x)在[0,∞)上最多只有两个单调区间(0,a)和(a,+∞),且f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,这样f(x)必定在(a,+∞)上有唯一的零点.
∵g'(x)=kx+f'(0)
∴g'(0)=f'(0),g''(x)=k
[f'(x)-g'(x)]'=f''(x)-g''(x)=f''(x)-k≥0
∴f'(x)-g'(x)在[0,∞)单调递增,
又∵f'(0)-g'(0)=0
∴f'(x)-g'(x)≥0
∵[f(x)-g(x)]’=f'(x)-g'(x)≥0
∴f(x)-g(x)在[0,∞)单调递增
又∵f(0)-g(0)=0
∴f(x)-g(x)≥0,即f(x)≥g(x)=(1/2)kx²+f'(0)x+f(0),
∵k>0
∴ 当x→+∞时,lim g(x)=+∞
f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,
故f(x)在[0,∞)上连续
而f(0)<0,f(+∞)>0
由连续函数的介值定理可知f(x)在(0,∞)必定有零点
下面证明零点的唯一性.
∵f''(x)=k>0对x≥0成立
∴f'(x)是[0,∞)上严格单调递增的连续函数
∴f'(x)在[0,∞)上最多只有一个零点.
若f'(x)没有零点,由于f(0)<0,f(+∞)>0
故f(x)是[0,∞)上严格单调递增的连续函数,零点当然唯一;
若f'(x)有一个零点,同理由于f(0)<0,f(+∞)>0;
故此时f(x)在[0,∞)上最多只有两个单调区间(0,a)和(a,+∞),且f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,这样f(x)必定在(a,+∞)上有唯一的零点.
高数证明题设函数f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x≥0有f''(x)≥k,其中k大于0,为一个常数,f(0
有关高数的证明题设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为
设函数f(x)在[0,+∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有f''(x)>=k,其中k>0,为一常数,f(0)
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)
设f(x)在R上有定义,在x=0点连续,且f(x/a)=f(x),其中a为小于1的常数,证明f(x)为常数函数.
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间【0,2】上有表达式
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k小于0,且f(x)在区间『0,2』的表达式为f(x)
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x0=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x0=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间【0,2】上有表达式f(x)
设函数f(x)对任意实数满足等式f(2x)=f(x),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)必为常数
函数f(x)对任意实数x均有f(x+2)=kf(x),其中k为已知的正常数,且f﹙x﹚在区间[0,2]上有表达式f﹙x﹚