几何超难题!设P是五边形ABCDE外接圆上任一点,求证:P至五边形ABCDE各对角线的距离之积等于P至各边的距离之积.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 07:41:05

几何超难题!
设P是五边形ABCDE外接圆上任一点,求证:P至五边形ABCDE各对角线的距离之积等于P至各边的距离之积.

证明：设P点至五边形边AB,BC,CD,DE,EA的距离分别为h1,h2,h3,h4,h5；
P点至五边形各对角线AC,AD,BD,BE,CE的距离分别为m1,m2,m3,m4,m5.
令R为五边形ABCDE外接圆的半径.
根据简单几何定理：三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积.
在ΔPAB中,得：
PA*PB=2R*h1……(1-1)
同理可得：
PB*PC=2R*h2……(1-2)
PC*PD=2R*h3……(1-3)
PD*PE=2R*h4……(1-4)
PE*PA=2R*h5……(1-5)
在ΔPAC中,得：
PA*PC=2R*m1……(2-1)
同理可得：
PA*PD=2R*m2……(2-2)
PB*PD=2R*m3……(2-3)
PB*PE=2R*m4……(2-4)
PC*PE=2R*m5……(2-5)
(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得：
h1*h2*h3*h4*h5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (3)
(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得：
m1*m2*m3*m4*m5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (4)
所以则有：h1*h2*h3*h4*h5=m1*m2*m3*m4*m5.
证明完毕!
备注：实际上我们有更一般结论：
定理：圆内接n边形(n≥4) 外接圆上任一点至各条对角线的距离之积的2/(n-3) 次方等于该点至各边的距离之积.
定理证明与上述证明方法相同,关键要注意量纲,n边形有n条边和n(n-3)/2条对角线.

几何超难题!设P是五边形ABCDE外接圆上任一点,求证:P至五边形ABCDE各对角线的距离之积等于P至各边的距离之积. 如图,任意五边形ABCDE中,M,N,P,Q分别为AB,CD,BC,DE的中点,K,L,分别为MN,PQ的中点,求证：K 已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a＞0,b＞0）及其上任一点P.求证：点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值已知AC、AD是五边形ABCDE的对角线.求证：AB+BC+CD+DE+EA＞AC+CD+DA 五边形ABCDE的各顶点将其外接圆圆周分成2：3：4：5：6五部分,求五边形ABCDE各内角的大小 (1)如图,在凸五边形ABCDE中,AB⊥BC,AE⊥ED,∠BAC=∠EAD,P是CD的中点,求证:PB=PE.（提示已知等轴双曲线x^2-y^2=a^2集齐上一点P,求证(1)P到这两个焦点的距离之积等于P到双曲线中点的平方求证双曲线x^2-y^2=r^2上的任意一点p到两个焦点的距离之积等於p至双曲线的中心之距离的平方如图正方形CDEF的边长为4,截去一个角ABF得五边形ABCDE,已知AF=2,BF=1在AB上取一点P,过点P作CD、一道超难几何题在一个120°的三角形ABC中,有任意一点P,求证：点P到A,B,C的距离和等于120°角的夹边和吓我么~ 设P使三角形ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c的距离,R是三角形ABC外接圆的半径已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM