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若对x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式2−x≥a4−y

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/06 03:13:47
若对x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式2−x≥
a
4−y
若对x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式2−x≥a4−y
2−x≥
a
4−y,即a≤(2-x)(4-y)恒成立,只需a≤(2-x)(4-y)的最小值
而(2-x)(4-y)=8-4x-2y+xy
=8-(4x+2y)+2
=10-(4x+2y)
=10-(4x+
4
x)
令f(x)=10-(4x+
4
x)    x∈[1,2]
则导数f'(x)=-(4-
4
x2)=
4(1−x2)
x2≤0
故f(x)在x∈[1,2]是减函数
所以当x=2时取最小值0
即(2-x)(4-y)的最小值为0
所以a≤0