搜搜考试网求助一个关于泰勒公式的问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 14:38:53
求助一个关于泰勒公式的问题
在李永乐版《2015数学全真模拟经典400题（数学二）》的模拟卷二里有这样一道题：
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二次可导,且f(x)在[0,1]上的最大值M=2,最小值m=0,求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0,1)内的点,则在(0,1)内必存在两点ξ与η,使得|f'(ξ)|>2,|f''(η)|>4成立.
该书内在解答第二个不等式|f''(η)|>4时,是这样解答的：
为了确定起见,我们可设f(x)在[0,1]上的最大值M在(0,1)内的点x1处取得,而f(x)在[0,1]上的最小值m在[0,1]上的某点x2不等于x1取得.因x1∈(0,1),又f(x1)=max{f(x)}=2,故f'(x1)=0.将f(x2)在x=x1展开成一阶泰勒公式,得f(x2)=f(x1)+f'(x1)(x2-x1)+1/2*f''(η)(x2-x1)^2
（以后略）
请问,上面为什么可以直接将有可能是边界点的x2在x1处用泰勒公式展开呢?
我的理解是不能展开,因为按同济版《高等数学》书中,泰勒中值定理的定义如下：
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和.
另有某参考书上与上述定义等价的泰勒公式定义如下：
设f(x)在点x0的某一邻域内有直到n+1阶的导数,则对该邻域内的任意点x均有...（以后略）
如果上述红色文字中的x2在边界点上取得的时候,x2不属于(0,1)的开区间内,并且在[0,1]之外的区间内
f(x)的可导性并未告知,因此不能展开.我是不是哪里理解错了呢?
在李永乐版《2015数学全真模拟经典400题（数学二）》的模拟卷二里有这样一道题：
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二次可导,且f(x)在[0,1]上的最大值M=2,最小值m=0,求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0,1)内的点,则在(0,1)内必存在两点ξ与η,使得|f'(ξ)|>2,|f''(η)|>4成立.
该书内在解答第二个不等式|f''(η)|>4时,是这样解答的：
为了确定起见,我们可设f(x)在[0,1]上的最大值M在(0,1)内的点x1处取得,而f(x)在[0,1]上的最小值m在[0,1]上的某点x2不等于x1取得.因x1∈(0,1),又f(x1)=max{f(x)}=2,故f'(x1)=0.将f(x2)在x=x1展开成一阶泰勒公式,得f(x2)=f(x1)+f'(x1)(x2-x1)+1/2*f''(η)(x2-x1)^2
（以后略）
请问,上面为什么可以直接将有可能是边界点的x2在x1处用泰勒公式展开呢?
我的理解是不能展开,因为按同济版《高等数学》书中,泰勒中值定理的定义如下：
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和.
另有某参考书上与上述定义等价的泰勒公式定义如下：
设f(x)在点x0的某一邻域内有直到n+1阶的导数,则对该邻域内的任意点x均有...（以后略）
如果上述红色文字中的x2在边界点上取得的时候,x2不属于(0,1)的开区间内,并且在[0,1]之外的区间内
f(x)的可导性并未告知,因此不能展开.我是不是哪里理解错了呢?
最大值M在(0,1)内的点x1处取得,将f(x2)在x=x1展开
x1不是边界点
再问： 谢谢您回答。
但是x2有可能在边界点上，定义中所述“....当x在(a,b)内时...“限制了f(x)的x在(a,b)范围内，没有取到端点。
再答： 他是在x1点展开，就和x2没什么关系了，就像迈克劳林公式，全是在x=0展开的，但它可以用来求任意的x值的函数值
再问： 谢谢您耐心的回答。
展开后f(x)的x还是要在定义域内吧。
f(x)=ln(1+x)在0处展开，f(-1)和f(-2)的值是多少呢？
再答： x2在边界点也还是在定义域内啊，展开只要找个符合要求的点展开就好，求值那点只要求在定义域，没展开那点那么多要求
x1不是边界点
再问： 谢谢您回答。
但是x2有可能在边界点上，定义中所述“....当x在(a,b)内时...“限制了f(x)的x在(a,b)范围内，没有取到端点。
再答： 他是在x1点展开，就和x2没什么关系了，就像迈克劳林公式，全是在x=0展开的，但它可以用来求任意的x值的函数值
再问： 谢谢您耐心的回答。
展开后f(x)的x还是要在定义域内吧。
f(x)=ln(1+x)在0处展开，f(-1)和f(-2)的值是多少呢？
再答： x2在边界点也还是在定义域内啊，展开只要找个符合要求的点展开就好，求值那点只要求在定义域，没展开那点那么多要求