（2014•安阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+x，a∈R．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/01 14:50:04

（2014•安阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+x，a∈R．
（1）若函数φ（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数φ（x）的图象被点P（2，φ（2））分成的两部分为C₁，C₂．该函数图象在点P处的切线为l，且C₁、C₂位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

（1）因为f（x）=lnx，g（x）=ax²+x，a∈R，
所以φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+ax²+x，函数的定义域为（0，+∞），
要使φ（x）在其定义域内是单调增函数，
则φ′（x）≥0恒成立，
即ϕ′(x)＝
1
x−2ax−1＝−
2ax2+x−1
x≥0，（x＞0），
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤
1
x2−
1
x＝(
1
x−
1
2)2−
1
4，
所以a≤−
1
8．
（2）因为ϕ′(x)＝
1
x−2ax−1．
所以切线l的方程为y＝(−4a−
1
2)(x−4)+ln2−4a−2．
令h(x)＝lnx−ax2−x−[(−4a−
1
2)(x−2)+ln2−4a−2]，
则h（2）=0.h′(x)＝
1
x−2ax+4a−
1
2＝−
2ax2−(4a−
1
2)−1
x．
若a=0，则h′(x)＝
2−x
2x，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0；
x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）≤h（2）=0，c₁，c₂在直线同侧，l不合题意；
若a≠0，h′＝−
2a(x−2)(x+
1
4a)
x，
若a＝−
1
8，h′＝
(
x
2−1)2
x≥0，h（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0；
当x∈（0，2）时，h（x）＜h（2）=0，符合题意；
若a＜−
1
8，当x∈(−
1
4a，2)时，h′（x）＜0，h′（x）＞h（2）=0，
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h′（x）＞h（2）=0，不合题意；
若−
1
8＜a＜0，当x∈(2，−
1
4a)时，h′（x）＜0，h（x）＜h（2）=0，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）＜h（2）=0，不合题意；
若a＞0，当x∈（

（2014•安阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+x，a∈R．已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R 已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx．已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．已知函数f（x）=12ax2+（1-a）x-1-lnx，a∈R．已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 函数f（x）=lnx-ax2（a∈R）．（2014•西城区一模）已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R．已知函数f(x）=lnx+a/x,g(x)=x,F(x)=f(1+e的x次方)-g(x）,x属于R 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．