为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 20:06:01

为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数?
包括圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的导数
偶然发现有这条规律在里面,

证明：先就圆的周长（2πR）也正好是圆的面积（πR^2）的关于R导数证明.
设有一个圆的半径为R,另一个与它同心的圆的半径为R+△R.
先看两个同心圆组成的圆带,它的面积是π(R+△R)^2-πR^2.当△R相当小时,该圆带近似为宽为△R的长方形条,其长度近似(π(R+△R)^2-πR^2)/△R.对△R求极限.lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R就是半径为R的圆的周长.
而：lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R=πR^2对R的导数=2πR.
关于体积也可以像上面一样类似的证明,不过换成同心球体就可以了.
受你的启发,如果把正方形的半边长当成半径（即正方形的中心到每边的距离）.那么这个发现对正方形、正方体对成立.

为什么球的表面积（4πR^2）正好是球体积（4/3 πR^3）的导数? 已知球的体积关于半径的函数V(r)=4/3πr^3,它的导数V'(r)=4πr^2恰好是球的表面积,利用类比思想,可以类球体质量计算公式均匀的球：4/3×pi×R×R×R×密度密度仅与R有关的球：4×pi×R×R×密度（密度是R的函数）,从球体体积v=4πR³/3 按照这个公式算, 半径0.3的球体积是0.113 圆台的表面积公式推导为什么侧面积是π（R+r）*l 已知一个球体的体积为115立方米,球体的公式为v=3/4πr^3(r为球半径）.求这个球的半径（保留2个有效数字地球可以进地看作球体.如果用S,r分别表示球的表面积和半径,那么S=4πr^2,已知地球的半径约为6*10^3, 球体表面积公式：S=4πr²中r是变量还是r²是变量已知半径为r的球的体积为v=4/3πr^3,利用导数的定义证明球的表面积为s=4πr^2 已知一个球形储气罐的容积为115立方米,球体公式V=4/3πr的3次方,（r是球半径）求这个球形的半径（保留2 已知一个球形储气罐的容积为115立方米,球体公式V=4/3πr的3次方,（r是球半径）求这个球形的半径（保留2个有效数字球的表面积推导我是把球体沿着Z轴方向分割无数块每一块周长=π（R-Z）《用相似三角形推导的》,积分后怎么是2πR