搜搜考试网设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 23:05:27
设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.
先约定符号矩阵A的转置记为AT
已知：A是反对称阵,即AT=-A
想要证明矩阵E-A^2为正定阵,首先要说明它是对称阵：
矩阵E-A^2=E+A×(-A)=E+A×AT,这是一个对称阵,可以证明E+A×AT的转置就是它本身
因为（E+A×AT）T=ET+(A×AT)T=E+(AT)T × AT=E+A×AT
其次再来证明E-A^2=E+A×AT为正定阵,这需要用到以下一个结论：
两个正定矩阵的和仍然是正定阵（直接利用二次型章节中正定阵的定义,就可以证明）
利用这个结论,如果证明了E和A×AT都是正定阵,那么它们的和E+A×AT,即E-A^2就是正定阵
易得,E的正定性
下面证明A×AT是正定阵,依据正定的定义
对于任意的非零向量y,yT×（A×AT）×y=（yT×A）×（AT×y）=（AT×y）T ×(AT×y)这是向量(AT×y)和此向量的转置（AT×y）T之乘积,是实数的平方和,一定大于零,
因此A×AT是正定阵
已知：A是反对称阵,即AT=-A
想要证明矩阵E-A^2为正定阵,首先要说明它是对称阵：
矩阵E-A^2=E+A×(-A)=E+A×AT,这是一个对称阵,可以证明E+A×AT的转置就是它本身
因为（E+A×AT）T=ET+(A×AT)T=E+(AT)T × AT=E+A×AT
其次再来证明E-A^2=E+A×AT为正定阵,这需要用到以下一个结论：
两个正定矩阵的和仍然是正定阵（直接利用二次型章节中正定阵的定义,就可以证明）
利用这个结论,如果证明了E和A×AT都是正定阵,那么它们的和E+A×AT,即E-A^2就是正定阵
易得,E的正定性
下面证明A×AT是正定阵,依据正定的定义
对于任意的非零向量y,yT×（A×AT）×y=（yT×A）×（AT×y）=（AT×y）T ×(AT×y)这是向量(AT×y)和此向量的转置（AT×y）T之乘积,是实数的平方和,一定大于零,
因此A×AT是正定阵
设A为n阶反对陈矩阵,则E-A^2为正定矩阵,请证明之.
设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵
求助已知A是n阶正定矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明A-B^2也为正定矩阵.
设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵.
关于正定矩阵的 急设A为n阶实对称矩阵 证明 B=I+A的平方 为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为
证明：A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵
设A为正定矩阵,证明|E+A|>1
设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵
设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵AtA为正定矩阵.
设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
设A为n阶实矩阵,证明若A非退化,则A'A是正定矩阵.
设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.