搜搜考试网如何求矩阵方幂的特征值
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 02:57:16
如何求矩阵方幂的特征值
1 若已知c是矩阵A的特征值,那么c的k次为什么是A的k次的特征值?
2
为什么A的k次的矩阵范数要小于等于A的矩阵范数的k次?这是我在《数值线性代数》,北大第二版,证明定理2.1.7
【第50页最后一行】时看不懂的地方.如果问题1是对的,那么A的矩阵范数的k次所构成的集合应该会比A的k次的矩阵范数所构成的集合要小呀,取完范数怎么不等式会倒过来?
1 若已知c是矩阵A的特征值,那么c的k次为什么是A的k次的特征值?
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为什么A的k次的矩阵范数要小于等于A的矩阵范数的k次?这是我在《数值线性代数》,北大第二版,证明定理2.1.7
【第50页最后一行】时看不懂的地方.如果问题1是对的,那么A的矩阵范数的k次所构成的集合应该会比A的k次的矩阵范数所构成的集合要小呀,取完范数怎么不等式会倒过来?
1.如果c是A的特征值,则存在非零向量X使AX = cX.
于是(A^k)X = c^k·X,即得c^k是A^k的特征值.
实际上,如果A的特征值为c1,c2,...,cn (包括重根),
f(x)是任意多项式,可以证明f(A)的特征值为f(c1),f(c2),...,f(cn) (包括重根).
因为A相似于上三角阵,而对上三角阵容易验证上述结论成立.
2.这里的矩阵范数是指||A|| = sup{||AX||/||X|| | X ≠ 0}?
从定义不难证明||AB|| ≤ ||A||·||B||,归纳即得||A^k|| ≤ ||A||^k.
需要指出的是||A||不一定等于A的最大特征值的模.
例如A = [1,1;0,1]的矩阵范数是√5+1)/2 > 1,在X = ((√5-1)/2,1)'时取得(这里X取欧式范数).
于是(A^k)X = c^k·X,即得c^k是A^k的特征值.
实际上,如果A的特征值为c1,c2,...,cn (包括重根),
f(x)是任意多项式,可以证明f(A)的特征值为f(c1),f(c2),...,f(cn) (包括重根).
因为A相似于上三角阵,而对上三角阵容易验证上述结论成立.
2.这里的矩阵范数是指||A|| = sup{||AX||/||X|| | X ≠ 0}?
从定义不难证明||AB|| ≤ ||A||·||B||,归纳即得||A^k|| ≤ ||A||^k.
需要指出的是||A||不一定等于A的最大特征值的模.
例如A = [1,1;0,1]的矩阵范数是√5+1)/2 > 1,在X = ((√5-1)/2,1)'时取得(这里X取欧式范数).