（2011•西城区二模）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/08 00:00:36

（2011•西城区二模）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x₁，x₂，则x1+x2＝−

，x1•x2＝

．
解决下列问题：
已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，其中一根为2．
（1）填空：4a+2b+c==0，a＞＞0，c＜＜0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程ax²+bx+c=0的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；
（3）若实数m使代数式am²+bm+c的值小于0，问：当x=m+5时，代数式ax²+bx+c的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．

（1）∵4a+2b+c=0，
∴a，b，c至少有一个为正，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，
①当a＞0，c＞0时候，则b＞0，所以4a+2b+c＞0，与4a+2b+c=0矛盾，不合题意；
②当a＞0，c＜0时候，所以4a+2b+c可能等于0，
∴a＞0，c＜0；
故答案为：=，＞，＜．

（2）由题意可知：x₁x₂=2x₂=
c
a，解得：另一根x₂=
c
2a；（4分）

（3）答：当x=m+5时，代数式ax²+bx+c的值是正数．
理由如下：
设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），则由题意可知，它经过A(
c
2a，0)，B（2，0）点．
∵a＞0，c＜0，∴抛物线y=ax²+bx+c开口向上，且
c
2a＜0＜2，即点A在点B左侧．（5分）
设点M的坐标为M（m，am²+bm+c），点N的坐标为N（m+5，y）．
∵代数式am²+bm+c的值小于0，∴点M在抛物线y=ax²+bx+c上，且点M的纵坐标为负数．
∴点M在x轴下方的抛物线上．（如图）∴x_A＜x_M＜x_B，即
c
2a＜m＜2．
∴
c
2a+5＜m+5＜7，即
c
2a+5＜xN＜7．
以下判断
c
2a+5与x_B的大小关系：
∵4a+2b+c=0，a＞b，a＞0，
∴(
c
2a+5)−xB＝(
c
2a+5)−2＝
6a+c
2a＝
6a−(4a+2b)
2a＝
a−b
a＞0．
∴
c
2a+5＞xB．∴xN＞
c
2a+5＞xB．（6分）
∵B，N两点都在抛物线的对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴y_N＞y_B，即y＞0．
∴当x=m+5时，代数式ax²+bx+c的值是正数．（7分）