（2014•丰台区二模）阅读下列材料：

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/05 09:00:12

（2014•丰台区二模）阅读下列材料：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时

（1）如图2，

∵四边形APBQ是平行四边形，
∴AP∥BQ，AP=BQ．
∵QP⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠C=90°．
∴PQ∥BC．
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，
∴四边形PCBQ是矩形．
∴QB=PC．
∴AP=PC．
∴
AP
AC=
1
2．
故答案为：
1
2．
（2）如图5，
由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．
∵QP⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠C=90°．

∴PQ∥BC．
∵四边形PBQE是平行四边形，
∴EP∥BQ，EP=BQ．
∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，
∴四边形PCBQ是矩形．
∴QB=PC，PQ=BC=3．
∴EP=PC．
∵AE=nPA，
∴PC=EP=EA+AP
=nPA+AP
=（n+1）AP．
∴AC=AP+PC
=AP+（n+1）AP
=（n+2）AP．
∴
AP
AC=
AP
(n+2)AP=
1
n+2．
故答案分别为：3、
1
n+2．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，
由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．
∵QP⊥AB，CH⊥AB，
∴∠APQ=∠AHC=90°．
∴PQ∥HC．
∵四边形PCQE是平行四边形，
∴EP∥CQ，EP=CQ．
∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC=90°，
∴四边形PHCQ是矩形．
∴QC=PH，PQ=HC．
∴EP=PH．

∵AE=nPA，
∴EP=EA+AP
=nPA+AP
=（n+1）AP．
∴EH=2EP=2（n+1）AP．
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5．
∵∠HAC=∠CAB，∠AHC=∠ACB=90°，
∴△AHC∽△ACB．
∴
AH
AC=
HC
CB=
AC
AB．
∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴
AH
4=
HC
3=
4
5．
∴AH=
16
5，HC=
12
5．
∴PQ=HC=
12
5，EH=AE+AH=nPA+
16
5．
∴EH=2（n+1）AP=nPA+
16
5．
∴（2n+2-n）AP=
16
5．
∴AP=
16
5n+10．
∴
AP
AC=
16
4(5n+10)=
4
5n+10．
故答案分别为：

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