搜搜考试网急!两道高一数学函数题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 05:28:29
急!两道高一数学函数题
一、设有函数y=f(x),x是实数,证明：若下列两条件之一满足,则此函数是周期函数：
1.它的图像关于两直线x=a与x=b对称（a与b不相等）；
2.它的图像关于直线x=a及点(b,c)对称（a与b不相等）.
注：要分开证明.
二、已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称,且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2009)的值为?
请用高一知识解答,并附有详细过程,万分感谢!
非常感谢您详细的解答，不过请问您能告诉我您是怎么想到这么做的吗？您的思路是怎样的？
一、设有函数y=f(x),x是实数,证明：若下列两条件之一满足,则此函数是周期函数：
1.它的图像关于两直线x=a与x=b对称（a与b不相等）；
2.它的图像关于直线x=a及点(b,c)对称（a与b不相等）.
注：要分开证明.
二、已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称,且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2009)的值为?
请用高一知识解答,并附有详细过程,万分感谢!
非常感谢您详细的解答，不过请问您能告诉我您是怎么想到这么做的吗？您的思路是怎样的？
希望您能通过"百度HI"与我进行交谈
此处不便说明,
一
(1)证明:
由于
函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称
则:f(a+x)=f(a-x)
令X=a-x
则：f(2a-x)=f[a-(a-x)]
=f(x)
又函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称
则同理可得：
f(x)=f(2b-x)
所以f(2a-x)=f(2b-x)
设y=2b-x
则：x=2b-y
所以f(y)=f[2a-(2b-x)]
=f[y+2(a-b)]
由于y是任意的
所以f(x)是以2(a-b)为周期的周期函数
(2)证明：
由于函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,
故同理得：f(x)=f(2a-x)
又函数y=f(x)的图像关于点（b,c）对称,
故f(x)+f(2b-x)=2c
所以由f(x)=f(2a-x),
得：
f(2a-x)=f(x)
=2c-f[2b-x]
=2c-f[2b-(2a-x)]
=f(2b-2a+x)
则：f[2b-(2a-x)]
=f[2a-(2b-2a+x)]
=f(4a-2b-x)
则：f[2a-(2b-2a+x)]
=2c-f[2b-(4a-2b-x)]
=2c-f(4b-4a+x),
所以f(x)=f(4b-4a+x),
则：f(x)是以4b-4a为周期的周期函数
综上所述,
若两条件之一满足,则函数是周期函数
二
由f(x)=-f(x+3/2),
得：f(x+3/2)=-f(x)
令X=x+3,
则：
f(x+3)
=f(x+3/2+3/2)
=f[(x+3/2)+3/2]
=-f(x+3/2)
=-[-f(x)]
=f(x)
所以f(x)周期是3
由于函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称
则有：f(-3/4+x)+f(-3/4-x)=0
则：
f(-3/4+x)
=-f(-3/4-x)
=f[(-3/4-x)+3/2]
=f(-3/4-x+3/2)
=f(3/4-x)
令Y=3/4-x
则：f(Y)=f(-Y)
所以f(x)是偶函数
则：
f(1)=f(-1)=1,
f(2)=f(-1)=1,
f(3)=f(0)=-2
则；f(1)+f(2)+f(3)=0
则：
f(1)+ f(2)+ f(3)+...+ f(2009)
=f(2008)+f(2009)
=f(1)+f(2)
=2
此处不便说明,
一
(1)证明:
由于
函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称
则:f(a+x)=f(a-x)
令X=a-x
则：f(2a-x)=f[a-(a-x)]
=f(x)
又函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称
则同理可得：
f(x)=f(2b-x)
所以f(2a-x)=f(2b-x)
设y=2b-x
则：x=2b-y
所以f(y)=f[2a-(2b-x)]
=f[y+2(a-b)]
由于y是任意的
所以f(x)是以2(a-b)为周期的周期函数
(2)证明：
由于函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,
故同理得：f(x)=f(2a-x)
又函数y=f(x)的图像关于点（b,c）对称,
故f(x)+f(2b-x)=2c
所以由f(x)=f(2a-x),
得：
f(2a-x)=f(x)
=2c-f[2b-x]
=2c-f[2b-(2a-x)]
=f(2b-2a+x)
则：f[2b-(2a-x)]
=f[2a-(2b-2a+x)]
=f(4a-2b-x)
则：f[2a-(2b-2a+x)]
=2c-f[2b-(4a-2b-x)]
=2c-f(4b-4a+x),
所以f(x)=f(4b-4a+x),
则：f(x)是以4b-4a为周期的周期函数
综上所述,
若两条件之一满足,则函数是周期函数
二
由f(x)=-f(x+3/2),
得：f(x+3/2)=-f(x)
令X=x+3,
则：
f(x+3)
=f(x+3/2+3/2)
=f[(x+3/2)+3/2]
=-f(x+3/2)
=-[-f(x)]
=f(x)
所以f(x)周期是3
由于函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称
则有：f(-3/4+x)+f(-3/4-x)=0
则：
f(-3/4+x)
=-f(-3/4-x)
=f[(-3/4-x)+3/2]
=f(-3/4-x+3/2)
=f(3/4-x)
令Y=3/4-x
则：f(Y)=f(-Y)
所以f(x)是偶函数
则：
f(1)=f(-1)=1,
f(2)=f(-1)=1,
f(3)=f(0)=-2
则；f(1)+f(2)+f(3)=0
则：
f(1)+ f(2)+ f(3)+...+ f(2009)
=f(2008)+f(2009)
=f(1)+f(2)
=2