求泊松定理的证明过程,急急急急急急啊,谢谢

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 19:28:41

现令 P(k,T) 表示在时间区间 T 中发生 k 次事件的机率（注意 T 表示时间区间的长度,而不是绝对时间）,由⑴⑵知 $P（1,\Delta t)=\lambda\Delta t$,且 $P(k,\Delta t)=0$,$k\geq 2$.现将 T 分割成 N 个短时间区段（即 $T=N\Delta t$）,利用 ⑶各时间区段出现之事件是独立的条件,可知
\begin{eqnarray*} P(k,T)& \approx & C^N_k (\lambda \Delta t)^k（1-\lambda\Delta ......cdot \frac{（1-\frac{\lambda T})^N}{（1-\frac{\lambda T})^k} \end{eqnarray*}
固定 k,当 $N\rightarrow\infty$ 时
\beginP(k,T)=\frac{(\lambda T)^k}{k!}e^{-(\lambda T)} \quad (\mbox{......{\MbQ\char 41}} （1+\frac{\alpha})^N\rightarrow e^{\alpha }) \end
由上可知 Poisson 分配是二项分配 B(N,p,q) 的一种极限,其中 Np= 常数 $\lambda T$,再让 $N\rightarrow\infty$.另外,我们通常将 $\lambda T$ 记为 m,表示在时间区间 T 中,平均的发生次数