已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 23:23:00
已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围.
![已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围.](/uploads/image/z/5093485-61-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2Bax%2B3-a%2C%E5%BD%93x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%5B-2%2C2%5D%E6%97%B6%2C%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%9B%B6%E7%82%B9%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
不妨设t∈[-2,2],且f(t)=0.
则t²+at+3-a=0.
a(1-t)=t²+3
=(1-t)²-2(1-t)+4.
显然,t≠1.
∴a+2=(1-t)+[4/(1-t)]
分类讨论
【1】当-2≤t<1时,0<1-t≤3.
由“对勾函数单调性”可知:
(1-t)+[4/(1-t)]≥4.等号仅当t=-1时取得.
∴a+2≥4.
a≥2.
【2】当1<t≤2时,0<t-1≤1.
由“对勾函数单调性”可知
(t-1)+[4/(t-1)]≥5.等号仅当t=2时取得.
∴-(2+a)=(t-1)+[4/(t-1)]≥5.
∴a≤-7.
综上可知:a∈(-∞,-7]∪[2,+∞).
则t²+at+3-a=0.
a(1-t)=t²+3
=(1-t)²-2(1-t)+4.
显然,t≠1.
∴a+2=(1-t)+[4/(1-t)]
分类讨论
【1】当-2≤t<1时,0<1-t≤3.
由“对勾函数单调性”可知:
(1-t)+[4/(1-t)]≥4.等号仅当t=-1时取得.
∴a+2≥4.
a≥2.
【2】当1<t≤2时,0<t-1≤1.
由“对勾函数单调性”可知
(t-1)+[4/(t-1)]≥5.等号仅当t=2时取得.
∴-(2+a)=(t-1)+[4/(t-1)]≥5.
∴a≤-7.
综上可知:a∈(-∞,-7]∪[2,+∞).
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