搜搜考试网可交换矩阵的交换矩阵所组成的线性空间的维数和基怎么求?已知可交换矩阵.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 22:28:03
可交换矩阵的交换矩阵所组成的线性空间的维数和基怎么求?已知可交换矩阵.
首先,所有的对角阵之间是可交换的.齐次,任意一个矩阵A,若A可与所有的对角阵交换,可以证明A必是对角阵.而所有的对角阵的维数是n,基是第i个对角元是1,其余元素为0的对角阵,i＝1,2,...,n.
再问： A可不可以不是对角矩阵？怎么证明A必是对角阵。
再答： D=diag(1 2 3 ,,, n)，则A与D可交换，你计算一下AD=DA，两边比较可知A是对角阵。
再问： 不对吧,我的意思是A和D都不是对角阵,但A是可交换矩阵
再答： 你能把题目明确清楚的写出来吗？我的回答只是常规想法，按现在你的问题是没办法证明必须是对角阵。实际上，这样的空间有无穷多个，维数也各不相同，比如任取一个非数量阵的矩阵A，考虑由A和单位阵E张成的空间V，V中任意矩阵都是A和E的线性组合，因此任意两个之间是可交换的。这样的A有太多了，对应的V也太多了。所以我觉得是你的题目描述的有问题。
再问： 题目是这样的：设实数域上的矩阵 A={0 0 1 1 0 0 4 -2 1} 1，证明所有与A可交换的矩阵所构成的集合C（A）是M3（R）上的一个线性子空间 2，求C（A）的一个基和维数。
再答： 1、若B C可与A交换，则A(B+C)=(B+C)A，(kB)A=A(kB)，因此构成一个子空间。 2、第一种做法：设B＝（bij）可与A交换，即AB＝BA，两边比较可得关于bij的九个式子，像求解线性方程组的形式解出基础解系可得B的形式，由此得到C(A)的维数和基。比较麻烦。第二种做法：A的特征多项式为a^3-a^2-4a+2，容易验证三个特征值分别在(-2 -1) (0 1) (1 3)之内，因此A可对角化，存在可逆阵Q，使得Q^(-1)AQ=diag(a1 a2 a3)。令B＝QTQ^(-1)，利用AB＝BA可知T必为对角阵，于是与A可交换的矩阵一定能写为QDQ^(-1)的形式，其中D是对角阵，因此C(A)的维数是3。基可取为三个D，Di是第i个对角元是1，其余都是0的对角阵。这样取还要计算Q，不太方便。如果你注意到E A A^2是三个线性无关（用定义容易验证）的可与A交换的矩阵，你就知道C(A)的一组基就是E A A^2这三个矩阵。
再问： A可不可以不是对角矩阵？怎么证明A必是对角阵。
再答： D=diag(1 2 3 ,,, n)，则A与D可交换，你计算一下AD=DA，两边比较可知A是对角阵。
再问： 不对吧,我的意思是A和D都不是对角阵,但A是可交换矩阵
再答： 你能把题目明确清楚的写出来吗？我的回答只是常规想法，按现在你的问题是没办法证明必须是对角阵。实际上，这样的空间有无穷多个，维数也各不相同，比如任取一个非数量阵的矩阵A，考虑由A和单位阵E张成的空间V，V中任意矩阵都是A和E的线性组合，因此任意两个之间是可交换的。这样的A有太多了，对应的V也太多了。所以我觉得是你的题目描述的有问题。
再问： 题目是这样的：设实数域上的矩阵 A={0 0 1 1 0 0 4 -2 1} 1，证明所有与A可交换的矩阵所构成的集合C（A）是M3（R）上的一个线性子空间 2，求C（A）的一个基和维数。
再答： 1、若B C可与A交换，则A(B+C)=(B+C)A，(kB)A=A(kB)，因此构成一个子空间。 2、第一种做法：设B＝（bij）可与A交换，即AB＝BA，两边比较可得关于bij的九个式子，像求解线性方程组的形式解出基础解系可得B的形式，由此得到C(A)的维数和基。比较麻烦。第二种做法：A的特征多项式为a^3-a^2-4a+2，容易验证三个特征值分别在(-2 -1) (0 1) (1 3)之内，因此A可对角化，存在可逆阵Q，使得Q^(-1)AQ=diag(a1 a2 a3)。令B＝QTQ^(-1)，利用AB＝BA可知T必为对角阵，于是与A可交换的矩阵一定能写为QDQ^(-1)的形式，其中D是对角阵，因此C(A)的维数是3。基可取为三个D，Di是第i个对角元是1，其余都是0的对角阵。这样取还要计算Q，不太方便。如果你注意到E A A^2是三个线性无关（用定义容易验证）的可与A交换的矩阵，你就知道C(A)的一组基就是E A A^2这三个矩阵。