已知正项等差数{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,记bn=an/3^n的前n项和

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 12:41:46

已知正项等差数{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,记bn=an/3^n的前n项和为Tn,求T

$已知正项等差数{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,记bn=an/3^n的前n项和$

S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=3(a1+d)=12
a1+d=4=a2
(a2)^2=2a1*(a3+1)
16=2a1*(a1+2d+1) a1+d=4
联合方程解得 a1=8（舍去）a1=1 d=3
bn-b(n-1)=an/(3^n)-a(n-1)/3^(n-1)
=an/(3^n)-3a(n-1)/(3^n)
=[an-3a(n-1)]/(3^n)
=[an-a(n-1)-2a(n-1)]/(3^n)
=[3-2a(n-1)]/(3^n)
=3/(3^n)-(2/3)*a(n-1)/3^(n-1)
=3/(3^n)-(2/3)*b(n-1)
即bn-b(n-1)/3=3/(3^n)
因此有b(n-1)-b(n-2)/3=3/3^(n-1)
b(n-2)-b(n-3)/3=3/3^(n-2)
.
b3-b2/3=3/3^3
b2-b1=3/3^2
所有式子相加
bn+(2/3)*[b(n-1)+b(n-2)+b(n-3)+.+b3+b2)-b1=3/3^2+3/3^3+.+3/3^(n-2)+3/3^(n-1)+3/3^n
b1=a1/3=1/3,Tn=b1+b2+b3+...+b(n-1)+bn
有 bn/3+2Tn/3-5/9=3/3^2+3/3^3+.+3/3^(n-2)+3/3^(n-1)+3/3^n
式子右边是等比数列求和,自己算下,假设为M
bn/3+2Tn/3-5/9=M
bn=an/3^n=(3n-2)/3^n
即可求得Tn