设BC是△ABC中最短的边,P是AB上的点,使∠PCB=∠BAC,Q是AC上的点,使得∠QBC=∠BAC.求证：△ABC

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/10 12:00:02

设BC是△ABC中最短的边,P是AB上的点,使∠PCB=∠BAC,Q是AC上的点,使得∠QBC=∠BAC.求证：△ABC和△APQ的外接圆的连心线垂直平分线段BC
二楼 “威加海内平四方”，AB≠AC
解法错在AX不是△ABC的切线，不然要条件“∠PCB=∠BAC”“∠QBC=∠BAC”干什么.
这题出自一我借的卷子，借我的人竟然不做笔记
百度半天也没出来- -

关键还是仔细画图,利用其对成性.
1、过P点做BC的平行线,跟BQ延长线相交于P'点.
2、过CP,BQ的相交点S,做BC的垂直相交线,交BC线于T点,交PP’线于R点.
基于∠PCB==∠QBC,有△BST与△CST是完全对称的,
即ST是BC的垂直中分线.
既然PP'//BC,ST也必然垂直中分PP'线于R点.
即△PRS 与△P'RS也是完全对称的.
其中,有∠PP'Q=∠QBC;
基于∠QBC=∠BAC,得到∠PP'Q=∠BAC；
即有 ∠PP'Q=∠PAQ；
基于等弦等角定理,则P'点也必然在△APQ的外接圆上.
即PP'线为此外接圆的一根弦.
而线RT又是线PP'的垂直中分线,则△APQ的外接圆的圆心必然在其弦PP'线的垂直中分线上,即RT线上.
由前面分析同样可知,△ABC的外接圆的圆心也必然在其弦BC线的垂直中分线上,即RT线上.
故,RT线也为两个外接圆的连心线.
则有两外接圆的连心线垂直中分线BC.

设BC是△ABC中最短的边,P是AB上的点,使∠PCB=∠BAC,Q是AC上的点,使得∠QBC=∠BAC.求证：△ABC 关于勾股定理在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的点,求证BD²＋CD² △ABC AB=AC ∠BAC=90° 点D是BC的中点 BC上任意一点作EF⊥AB于点F EG⊥AC于点G 求证DF 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O是BC边的中点,D,E分别是AB,AC上的点,AE=BD,求证：OE 在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的在△ABC中,点P是BC上一点.PM⊥AB,PN⊥AC,若AP是MN的垂线,求证：AP是∠BAC的平分线在△ABC中，AB=BC=9，且∠BAC=45°，P是线段BC上任意一点，P关于AB、AC的对称点为E、F，当△AEF的在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF平行BC,交AD于点F.求证：四边形CDE 如图所示,在△ABC中,已知AD是∠BAC的平分线,又是边BC上的中线,求证AB=AC 如图,在Rt△ABC中,∠BAC是直角,E是AC上的一点,ED⊥AB于点D,BD=BC,CD,BE交于点F,求证CD⊥B 如图,已知Rt△ABC中AB=AC=2 ∠BAC=90°,P是斜边BC上的一个动点,PE⊥AB,PF⊥AC,连EF,D为如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC上的一动点，AP=AQ，∠PAQ=90°，连接CQ．