搜搜考试网多元函数的极限的问题呢
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 11:54:41
多元函数的极限的问题呢
多元函数极限的定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点 如果存在函数A 对于任意给定的正数ε 总存在正数δ 使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立 那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)‐(x0,y0)时的极限 其实我很疑惑呢 就是聚点的定义包括边界点 但是边界点好像不存在极值吧 因为如果界线外趋近于p0点极限不存在呢 那么为什么极限的定义里有边界点的极限呢
多元函数极限的定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点 如果存在函数A 对于任意给定的正数ε 总存在正数δ 使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立 那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)‐(x0,y0)时的极限 其实我很疑惑呢 就是聚点的定义包括边界点 但是边界点好像不存在极值吧 因为如果界线外趋近于p0点极限不存在呢 那么为什么极限的定义里有边界点的极限呢
我们讨论函数的极限,是在函数的定义域中讨论,对于定义域边界上的的点,讨论函数在该点的极限也是考察它在定义域中的一个邻域中的情况,与边界外的点无关.所以,对边界上的点也是可以存在极限的.例如,对一元函数y=√sinx/√x,0是定义域（0,+∞)的端点,x趋于+0时,limy=1极限存在.
PS,对一元函数在区间端点处讨论极限,我们可以讨论其左或右极限,但对于多元函数没有了左右极限的概念,对于边界点的极限和内点的极限一样讨论,只是在讨论时我们只关注该点的某个邻域在定义区域内的那部分,这也是我们必须引入聚点概念的一个原因.边界点若不是聚点则函数在这点就没有极限了.
再问： 你举得例子是一元函数的极限的例子呢 我想说我问的是多元函数的极限问题呢 其实把我的话简单一点就是多元函数 边界点存在极限么 但是从定义域外的方向趋近于边界点 极限肯定没有的 那么为什么多元函数的定义域是聚点呢 不是内点 求回答啊
再答： 请仔细看我的回答，一元函数是多元函数的特例，数轴上区间也是空间区域的特例，可以参考。 若一定要二元函数，可以考察z=sin(xy)/(xy)，定义域为除去x、y轴的整个平面，所有边界上的点处极限都存在等于1 PS，再说一遍，考察极限不需要考虑定义域外的情况，只在定义域内考虑。定义域外天塌了也没关系。
PS,对一元函数在区间端点处讨论极限,我们可以讨论其左或右极限,但对于多元函数没有了左右极限的概念,对于边界点的极限和内点的极限一样讨论,只是在讨论时我们只关注该点的某个邻域在定义区域内的那部分,这也是我们必须引入聚点概念的一个原因.边界点若不是聚点则函数在这点就没有极限了.
再问： 你举得例子是一元函数的极限的例子呢 我想说我问的是多元函数的极限问题呢 其实把我的话简单一点就是多元函数 边界点存在极限么 但是从定义域外的方向趋近于边界点 极限肯定没有的 那么为什么多元函数的定义域是聚点呢 不是内点 求回答啊
再答： 请仔细看我的回答，一元函数是多元函数的特例，数轴上区间也是空间区域的特例，可以参考。 若一定要二元函数，可以考察z=sin(xy)/(xy)，定义域为除去x、y轴的整个平面，所有边界上的点处极限都存在等于1 PS，再说一遍，考察极限不需要考虑定义域外的情况，只在定义域内考虑。定义域外天塌了也没关系。