搜搜考试网数学达人进：广义积分问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 09:39:54
数学达人进：广义积分问题
当x是奇函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx 一定等于0吗?
当x是偶函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx 一定等于2∫（0到正无穷）f(x)dx吗?
说明理由~
当x是奇函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx 一定等于0吗?
当x是偶函数时,∫（负无穷到正无穷）f(x)dx 一定等于2∫（0到正无穷）f(x)dx吗?
说明理由~
错
以上两个结论若要成立,有一个必要条件,就是∫（0-->+∞）f(x)dx必须收敛,在这个条件下,以上两条是正确的,若不收敛,这里就不存在相等的问题.
再问： 能举个反例吗
再答： 这种问题需要举例子吗？如果∫（0-->+∞）f(x)dx 发散，那等式两边都是不存在的，你总不能说无穷大与无穷大相等吧？这还需要举例子吗？这是广义积分的定义要求的。 ∫[-∞-->+∞] x dx 该积分发散，因此结果不存在，不能说因为是奇函数，所以结果为0。
再问： ∫[-∞-->+∞] x dx =lim ∫[-a-->+a] x dx (a-->+∞） = lim 0 (a-->+∞） =0 这个请解释清楚
再答： 这个题不能这样做，应该这样做 ∫[-∞-->+∞] x dx =∫[-∞-->0] x dx+∫[0-->+∞] x dx =lim ∫[-b-->0] x dx+lim∫[0-->+b] x dx 两个极限都不存在，因此原积分发散 请看书上关于∫[-∞-->+∞]类积分的定义
以上两个结论若要成立,有一个必要条件,就是∫（0-->+∞）f(x)dx必须收敛,在这个条件下,以上两条是正确的,若不收敛,这里就不存在相等的问题.
再问： 能举个反例吗
再答： 这种问题需要举例子吗？如果∫（0-->+∞）f(x)dx 发散，那等式两边都是不存在的，你总不能说无穷大与无穷大相等吧？这还需要举例子吗？这是广义积分的定义要求的。 ∫[-∞-->+∞] x dx 该积分发散，因此结果不存在，不能说因为是奇函数，所以结果为0。
再问： ∫[-∞-->+∞] x dx =lim ∫[-a-->+a] x dx (a-->+∞） = lim 0 (a-->+∞） =0 这个请解释清楚
再答： 这个题不能这样做，应该这样做 ∫[-∞-->+∞] x dx =∫[-∞-->0] x dx+∫[0-->+∞] x dx =lim ∫[-b-->0] x dx+lim∫[0-->+b] x dx 两个极限都不存在，因此原积分发散 请看书上关于∫[-∞-->+∞]类积分的定义