搜搜考试网已知椭圆中心为点O,长轴短轴分别为2a,2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 02:40:43
已知椭圆中心为点O,长轴短轴分别为2a,2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB.
（1）1/OA^2+1/OB^2为定值.
（2）求△AOB面积的最大值和最小值.
（1）1/OA^2+1/OB^2为定值.
（2）求△AOB面积的最大值和最小值.
(1) 点(x,y)的极坐标表示为：
x=rcosθ,y=rsinθ
带入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得：
(rcosθ)^2 /a^2+(rsinθ)^2/b^2=1
假设A点极坐标表示为(r1cosθ1,r1sinθ1),B点极坐标表示为(r2cosθ2,r2sinθ2),
由椭圆方程r1^2[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2]=1,r2^2[(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]=1
1/OA^2+1/OB^2
=1/r1^2+1/r2^2
=[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2]+[(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]
=[(cosθ1)^2+(cosθ2)^2]/a^2+[(sinθ1)^2+(sinθ2)^2]/b^2
由于θ1与θ2夹角为90度,|cosθ1|=|sinθ2|,|sinθ1|=|cosθ2|
(cosθ2)^2=(sinθ1)^2,(sinθ2)^2=(cosθ1)^2
1/OA^2+1/OB^2=1/a^2+1/b^2
(2) △AOB面积=1/2r1r2
(r1^2)(r2^2)
=1/{[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2][(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]}
=(a^4)(b^4)/[b^2(cosθ1)^2+a^2(sinθ1)^2][b^2(cosθ2)^2+a^2(sinθ2)^2]
=(a^4)(b^4)/[b^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^2b^2(cosθ1)^4+a^2b^2(sinθ1)^4+a^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[b^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^2b^2-2a^2b^2(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[a^2b^2+(a^2-b^2)^2(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[a^2b^2 +(1/4)(a^2-b^2)^2(sin2θ1)^2]
当|sin2θ1|最大时,△AOB面积最小,这时θ1=45度,
(r1^2)(r2^2)=(a^4)(b^4)/[a^2b^2 +(1/4)(a^2-b^2)^2],
△AOB面积=a^2b^2/(a^2+b^2)
当|sin2θ1|最小时,△AOB面积最大,这时θ1=0度
(r1^2)(r2^2)=(a^4)(b^4)/[a^2b^2]=a^2b^2,
△AOB面积=(1/2)a
x=rcosθ,y=rsinθ
带入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得：
(rcosθ)^2 /a^2+(rsinθ)^2/b^2=1
假设A点极坐标表示为(r1cosθ1,r1sinθ1),B点极坐标表示为(r2cosθ2,r2sinθ2),
由椭圆方程r1^2[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2]=1,r2^2[(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]=1
1/OA^2+1/OB^2
=1/r1^2+1/r2^2
=[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2]+[(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]
=[(cosθ1)^2+(cosθ2)^2]/a^2+[(sinθ1)^2+(sinθ2)^2]/b^2
由于θ1与θ2夹角为90度,|cosθ1|=|sinθ2|,|sinθ1|=|cosθ2|
(cosθ2)^2=(sinθ1)^2,(sinθ2)^2=(cosθ1)^2
1/OA^2+1/OB^2=1/a^2+1/b^2
(2) △AOB面积=1/2r1r2
(r1^2)(r2^2)
=1/{[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2][(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]}
=(a^4)(b^4)/[b^2(cosθ1)^2+a^2(sinθ1)^2][b^2(cosθ2)^2+a^2(sinθ2)^2]
=(a^4)(b^4)/[b^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^2b^2(cosθ1)^4+a^2b^2(sinθ1)^4+a^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[b^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^2b^2-2a^2b^2(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[a^2b^2+(a^2-b^2)^2(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[a^2b^2 +(1/4)(a^2-b^2)^2(sin2θ1)^2]
当|sin2θ1|最大时,△AOB面积最小,这时θ1=45度,
(r1^2)(r2^2)=(a^4)(b^4)/[a^2b^2 +(1/4)(a^2-b^2)^2],
△AOB面积=a^2b^2/(a^2+b^2)
当|sin2θ1|最小时,△AOB面积最大,这时θ1=0度
(r1^2)(r2^2)=(a^4)(b^4)/[a^2b^2]=a^2b^2,
△AOB面积=(1/2)a
已知椭圆中心为点O,长轴短轴分别为2a,2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB.
已知椭圆的中心为O,长轴.短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB
已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b〔a〉b〉0〕,A ,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.
已知椭圆C的中心为原点O,F(1,0)是它的一个焦点,直线l经过点F与椭圆C交与A,B两点,l垂直于X轴,且OA*OB=
已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(
已知椭圆中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点.向量OA+向量OB与向量a(3,
已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,
已知椭圆中心为O,长轴,短轴的长分别为2a,2b（a>b>0),
1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在X轴上,斜率为t且过椭圆右焦点P2的直线交椭圆于A,B两点.向量OA＋向量OB于向
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上有两点A、B满足OA垂直于OB（O为坐标原点）,求证：O到直线AB
已知椭圆的中心坐标原点为O,右焦点为F（1,0）,短轴长为2,求直线L：Y=KX+B于AB两点且OA垂直于OB,求证直
已知椭圆的中心为O,长轴.短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两