三角形边长分别是7,8,9,是否存在一条直线,能把这个三角形分成面积和周长都相等的两部分.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 04:54:05

首先设三角形为ABC 对应边为abc 其中a=7 b=8 c=9
那条直线必定跟三角形交与两点,下面分类讨论两点的分布情况.
第一种情况,其中有一点在顶点上.如果是这种情况的话,另一点肯定在该顶点对应的边的中点上,这样才能保证两点将三角形面积分成两半.但是如果这样的话,两点就不可能将其周长分成两半了.举个例子,若一点在A上,则另一点必在a边的中点,这样的话,一部分周长为3.5+8=11.5,一部分周长为3.5+9=12.5,矛盾了,所以舍弃这种情况.
第二种情况,就是两点分别分布在两条边上.这样的话就有三个分支了,一种是在ab上,一种在ac上,还有一种在bc上.这次我们先从等周长下手（上一种情况是先从满足等面积的情况下手推出矛盾的）.
如果两点在ab上（下面将的就麻烦在草稿纸上画了,不会复杂）,设在a边的为点D,在b边的为点E,所以根据等周长有,AE+AB+BD=12即半周长,设AE=x,BD=y,因为AB=c=9,所以x+y=3.
下面再用等面积.在这里,三角形ABC总面积为1/2absinC,而三角形CED面积为 1/2(8-x)(7-y)sinC,也等于1/2个三角形ABC,所以有1/2ab=(8-x)(7-y),即28+xy=8y+7x,再加上前面x+y=3,联立就有y(1-x)=7,即(3-x)(1-x)=7,解得x=2+2√2,大于3了,y会小于0,舍去这种情况.
剩下两种情况模式就一模一样了,我时间不够了,要睡了,惭愧,剩下的就麻烦自己算了,如果有疑问,我明天一定回答!
没学三角函数? 接上面,那就过点A作BC上的垂线F,过E作BC上的垂线G,三角形ABC面积为
1/2AF乘a=1/2乘AF/b乘ab,这样的话b会约掉,所以等号左右是一样的,同理,再看三角形EDC面积为1/2EG乘DC=1/2乘EG/EC乘EC乘DC,注意到三角形AFC跟EGC相似,所以AF/b=EG/EC,
约掉后就是上面的式子了,这也是上面用三角函数的本质.希望能理解啊,下面附个图.如果不理解可以问!