已知与曲线C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l,与x轴、y轴交于A、高中数学：

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 00:12:45

已知与曲线C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l,与x轴、y轴交于A、高中数学：
已知与曲线C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l,与x轴、y轴交于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).
(1)求证：l与C相切的条件是：（a-2）(b-2)=2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程.

(1) 曲线C：(x-1)+(y-1)=1是以(1,1)为圆心的圆,直线l：y=-(a/b)x+a,可以写为：-(a/b)x-y+a=0；
因为l与C相切,则C圆心到l的距离为1,
由点到直线的距离方程知：d=l[-a/b -1+a]l/√[(a^2/b^2)+1)]=1;
化简整理得：2ab-2a^2b-2ab^2+a^2b^2=0
即：2-2a-2b+ab=0,==》ab-2a-2b+4=2==》(a-2)(b-2)=2;
所以当(a-2)(b-2)=2成立时,l到圆心的距离为1,即l与C相切；
(2) 设AB中点为D(x,y),则x=a/2,y=b/2,即a=2x,b=2y;
将a、b代入(1)中：(a-2)(b-2)=2可得(2x-2)(2y-2)=2,
整理得：xy-x-y+1/2=0,(x>1,y>1).