已知函数y=f(x)是定义在【-1,1】上的减函数,且对于定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/25 23:38:45
已知函数y=f(x)是定义在【-1,1】上的减函数,且对于定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0
(1)证明:对任意X1,X2∈【-1,1】都有【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0
(2)若f(1-a)+f(1-a^2)<0,求实数A的取值函数.
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(1)证明:对任意X1,X2∈【-1,1】都有【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0
(2)若f(1-a)+f(1-a^2)<0,求实数A的取值函数.
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1)、令x=0,则2f(0)=0,所以f(0)=0,;对任意X1,X2∈【-1,1】来说,
当x1+X2≥0时,即X1≥-X2,因为是减函数,所以f(X1)≤f(-X2),即f(X1)-f(-X2)≤0,
又f(X2)=-f(-x2),所以f(X1)+f(X2)≤0,所以【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0;
当x1+X2<0时,即X1<-X2,因为是减函数,所以f(X1)>f(-X2),即f(X1)-f(-X2)>0,
又f(X2)=-f(-x2),所以f(X1)+f(X2)>0,所以【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0;
2)、因为f(1-a)<-f(1-a^2),而-f(1-a^2)=f(a^2-1),所以f(1-a)<f(a^2-1),因为函数为减函数,所以1-a>a^2-1,整理得a^2+a-2<0,解得a∈[-2,1]
当x1+X2≥0时,即X1≥-X2,因为是减函数,所以f(X1)≤f(-X2),即f(X1)-f(-X2)≤0,
又f(X2)=-f(-x2),所以f(X1)+f(X2)≤0,所以【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0;
当x1+X2<0时,即X1<-X2,因为是减函数,所以f(X1)>f(-X2),即f(X1)-f(-X2)>0,
又f(X2)=-f(-x2),所以f(X1)+f(X2)>0,所以【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0;
2)、因为f(1-a)<-f(1-a^2),而-f(1-a^2)=f(a^2-1),所以f(1-a)<f(a^2-1),因为函数为减函数,所以1-a>a^2-1,整理得a^2+a-2<0,解得a∈[-2,1]
已知函数y=f(x)是定义在【-1,1】上的减函数,且对于定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0
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