如图,已知抛物线y=-x平方+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2023/12/07 03:55:07

如图,已知抛物线y=-x平方+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求A、B、C三点的坐标 (2)若点P为先打BC上的一点,PM平行y轴,且PM交抛物线于点M,交X轴于点N,当三角形BCM面积最大时,求三角形BPN周长（3）在（2）条件下,当BCM面积最大时,在抛物线的对称轴上存在Q,使三角形CNQ为直角三角形,求Q坐标

（1）令Y=0 -X²+2X+3=0 得 X=3或X=-1∴A（-1,0）B（3,0）令X=0 则Y=3∴C（0,3）（2）设直线BC：Y=kx+3（k≠0） 3k+3=0 得 k=-1∴直线BC：Y=-X+3设P（X,-X+3）M（X,-X²+2X+3）∴PM=（-X²+2X+3）-（-X+3）=-X²+3X∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=1/2PM×（Xp-XC）+1/2PM×（XB-XP）=1/2PM（XB-XC）=3/2PM∴S△BCM=3/2（-X²+3X）=-3/2（X-3/2）²+27/8∴X=3/2时,S△BCM max此时P（3/2,3/2）∴PN=ON=3/2∴BN=OB-ON=3-3/2=3/2∴PB=3√2/2C△BCN=BN+PN+PB=3+3√2/2∴当S△BCM max,△BPN的周长为3+3√2/2（3）抛物线对称轴：X=1在Rt△CNO中,OC=3,ON=3/2∴CN=3√5/2设点D为CN中点,则D（3/4,3/2）CD=ND=3√5/4①若点Q为顶点作Rt△CNO的外接圆⊙D,与抛物线对称轴交于Q1,Q2两点连接Q1D,则Q1D=CD=ND=3√5/4过D作对称轴的垂线,垂足为E则E（1,3/2）,Q1E=Q2E,DE=1-3/4=1/4在Rt△Q1DE中 Q1E=√11/2∴Q1（1,（3+√11）/2）Q2（1,（3-√11）/2）②若点N为顶点过点N作NF⊥CN,交对称轴于点Q3,交Y轴于点F易知Rt△NFO∽Rt△CNO则OF/ON=ON/OC 即OF÷（3/2）=3÷（2/3）∴OF=3/4∴F（0,-3/4）又∵N（3/2,0）∴直线FN：Y=1/2X-3/4当X=1时,Y=-1/4∴Q3（1,-1/4）③点C为顶点过点C作Q4C⊥CN,交对称轴于点Q4∵Q4C∥FN∴直线Q4C：Y=1/2X+3当X=1时,Y=7/2∴Q4（1,7/2）综上所述,满足题意的点Q有4个
Q1（1,（3+√11）/2）Q2（1,（3-√11）/2）Q3（1,-1/4）Q4（1,7/2）