搜搜考试网我用“柯西收敛定理”证明“闭区间套定理”,证明的最后阶段,在证明ξ属于一切闭区间以及ξ的唯一性时,总是避不开“确界定理”
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 19:36:10
我用“柯西收敛定理”证明“闭区间套定理”,证明的最后阶段,在证明ξ属于一切闭区间以及ξ的唯一性时,总是避不开“确界定理”.
注意：我的目的是通过循环证法来说明实数系基本定理的等价性,因此如果里面出现了确界存在定理,就不够严密了.
有谁能给出完全证明啊.注意：是直接从柯西收敛定理→闭区间套定理.中间不要借助其他定理.
注意：我的目的是通过循环证法来说明实数系基本定理的等价性,因此如果里面出现了确界存在定理,就不够严密了.
有谁能给出完全证明啊.注意：是直接从柯西收敛定理→闭区间套定理.中间不要借助其他定理.
我提供一下我的想法,你参考一下：
先把序列构造出来：{Xn},X2k-1=ak,X2k=bk,[ak,bk]组成一个区间套,满足lim|In|=0
显然这个数列是一个柯西列
∴有极限c,
现在要证明c∈[an,bn],对任意n
只需证明:an<c<bm,对任意m,n
先证明：an<bm,
由反证法,若否：bn>an>bm>am
这两个区间不可能有一个包含另一个,矛盾
再证明,c<bn,对任意n
也是用反证法:
若否,则,存在bm<c
取ε=(c-bm)/2
那么,对任意N,总有2k-1>N,这时X2k-1=ak<bm<c-ε
∴|X2k-1-c|=c-X2k-1>ε
也就是说,不存在这样的N使,n>N时,|Xn-c|<ε恒成立
这样就证明了,c<bn,对任意n
同理,an<c,对任意n成立
∴an<c<bn
∴c∈[an,bn]
先把序列构造出来：{Xn},X2k-1=ak,X2k=bk,[ak,bk]组成一个区间套,满足lim|In|=0
显然这个数列是一个柯西列
∴有极限c,
现在要证明c∈[an,bn],对任意n
只需证明:an<c<bm,对任意m,n
先证明：an<bm,
由反证法,若否：bn>an>bm>am
这两个区间不可能有一个包含另一个,矛盾
再证明,c<bn,对任意n
也是用反证法:
若否,则,存在bm<c
取ε=(c-bm)/2
那么,对任意N,总有2k-1>N,这时X2k-1=ak<bm<c-ε
∴|X2k-1-c|=c-X2k-1>ε
也就是说,不存在这样的N使,n>N时,|Xn-c|<ε恒成立
这样就证明了,c<bn,对任意n
同理,an<c,对任意n成立
∴an<c<bn
∴c∈[an,bn]
我用“柯西收敛定理”证明“闭区间套定理”,证明的最后阶段,在证明ξ属于一切闭区间以及ξ的唯一性时,总是避不开“确界定理”
怎样用柯西收敛原理直接证明区间套定理?（不能用其他的定理.）
区间套定理证明单调有界定理
如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理
用闭区间套定理证明零点定理
用闭区间套定理证明闭区间连续函数最值性
使用区间套定理证明dini定理.
闭区间套定理怎么用?数学分析当中有个闭区间套定理,虽然它的证明能够看懂,但是却在各种题目都不会用,请大神教教我怎么用闭区
积分中值定理最后求出来的那一点ξ可以是在开区间内,也可以是在闭区间内,前者是用拉格朗日中值定理证明的,后者使用介值定理证
积分中值定理的证明：闭区间的证明使用介值定理,可是连续函数的介值定理不是在开区间存在吗?
如何用确界原理证明区间套定理?
请问怎样用有限覆盖定理证明区间套定理