（2010•孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/05 05:02:38

（2010•孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y=

（1）顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）²（a≠0），
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，则a=
1
4．
故二次函数的解析式为：y=
1
4（x-2）²=
1
4x²-x+1．

（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=
1
4x²-x+1的图象上，
则有：2m-1=
1
4m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=
1
4x²-x+1的图象上．

（3）①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE=EF，由于y=
1
4x²-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，

∴S_△ABD=2S_△ACD=2×
1
2×4×4=16．
设P（x，
1
4x²-x+1），
由题意有：S_△POE=
1
2×4（
1
4x2-x+1）=
1
2x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴
1
2x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=
1
4×36+6+1=16，
当x=10时，y=
1
4×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD．