搜搜考试网函数在某一点可导的充要条件
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 13:16:49
函数在某一点可导的充要条件
教材定义是：若极限 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0)] / h 存在,则函数f(x)在x0处可导.
然后,如果 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A,却不能说明f(x)在x0处可导,这是为什么?
举个例子,有一分段函数f(x),当x不等于0时,f(x)=x；当x=0时,f(x)=2,即
f(x)= 2,x=0
x,=0
我们取x0=0,研究f(x)在点x0出的可导性
那么f(x)满足刚刚提到的函数可导的式子：
(h->0) lim [ f(0+h) - f(0-h) ] / h = 2,
但f(x)明显在x0=0出不连续,因此也就不可导!
为什么f(x)满足了可导的充要条件,却不一定可导?
教材定义是：若极限 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0)] / h 存在,则函数f(x)在x0处可导.
然后,如果 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A,却不能说明f(x)在x0处可导,这是为什么?
举个例子,有一分段函数f(x),当x不等于0时,f(x)=x；当x=0时,f(x)=2,即
f(x)= 2,x=0
x,=0
我们取x0=0,研究f(x)在点x0出的可导性
那么f(x)满足刚刚提到的函数可导的式子：
(h->0) lim [ f(0+h) - f(0-h) ] / h = 2,
但f(x)明显在x0=0出不连续,因此也就不可导!
为什么f(x)满足了可导的充要条件,却不一定可导?
(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0)] / h 存在
和(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h存在
这两个又不等价
上面是下面的充分非必要条件
再问： “两个部分之和的极限存在，不能说明两部分各自的极限都存在” 为什么不能说明？ 由极限运算法则 lim(A+B)=limA+limB 能不能举个例子说明lim(A+B)存在， 但limA+limB不存在的？
再答： 极限的四则的运算都是有条件的，即两个极限前提都是存在的，而且除法运算，分母的极限不能为零，你可以查下课本。你说的例子，假如A为1，-1,1，-1,……B为-1,1，-1,1……
和(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h存在
这两个又不等价
上面是下面的充分非必要条件
再问： “两个部分之和的极限存在，不能说明两部分各自的极限都存在” 为什么不能说明？ 由极限运算法则 lim(A+B)=limA+limB 能不能举个例子说明lim(A+B)存在， 但limA+limB不存在的？
再答： 极限的四则的运算都是有条件的，即两个极限前提都是存在的，而且除法运算，分母的极限不能为零，你可以查下课本。你说的例子，假如A为1，-1,1，-1,……B为-1,1，-1,1……