设f (x)在(0,+∞)内有定义,f′(1)=2,又对于任意的x,y∈(0,+∞)恒有f(xy)=yf(x)+xf(y

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 17:42:10

设f (x)在(0,+∞)内有定义,f′(1)=2,又对于任意的x,y∈(0,+∞)恒有f(xy)=yf(x)+xf(y).求f(x).

令x=y = 1得f(1) = 0
令 y = 1/x得 0 = f(x) / x + x f(1/x) 所以 f(1/x) = -f(x) / x^2
对x求导得
yf'(xy) = yf'(x) + f(y)
令y = 1/x得f'(1)/x = f'(x)/x + f(1/x) = f'(x)/x - f(x) / x^2
代入f'(1) = 2得
f'(x) - f(x) / x = 2
解这个微分方程得
f(x) = 2xlnx + Cx
f'(x) = 2lnx + 2 + C令x=1得C = 0
所以f(x) = 2 x lnx

设f (x)在(0,+∞)内有定义,f′(1)=2,又对于任意的x,y∈(0,+∞)恒有f(xy)=yf(x)+xf(y 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y属于R,有f(xy)=xf(y)+yf(x),若y=f(x) 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(xy)=xf(y)+yf(x) 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数对于任意的x y属于R有f(xy)=xf(y)+yf(x) f(x)是定义域在负无穷大到正无穷大上的不恒为0的函数且定义域内的任意X,Y有f(xy)=yf(x)+xf(y)求f(1 已知定义在R上的函数满足：对于任意的实数x y 恒有f(xy)=xf(y)+yf(x).且f(2)=2 则对于n属于正整已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（xy）=xf(y)+yf(x）成立，数列{an} 设f（x）在（0~正无穷）有定义,且f '(1)=1,对任意x,y,恒有f（xy）=yf(x)+f(y),求 f(x)? 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数且对于任意的x,y属于R有f(xy)=xf(x)+yf(x) 已知f(x)是定义在R上且不恒等于0的函数,对任意的x,y∈R,有f(xy)=xf(y)+yf(x). 已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都有f(x+y)=xf(y)+yf(x) 已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．