设n阶方阵A、B满足A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证A和A+B都可逆,并求它们的逆矩阵

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 07:56:41

根据A^2+AB+B^2=0可得A(A+B)=-B^2,进一步可得到A(A+B)(-B^2)^(-1)=I,
相应地,(-B^2)^(-1)A(A+B)=I,
从而可知 A和A+B都可逆,
并且有A^(-1)=(A+B)(-B^2)^(-1),(A+B)^(-1)=(-B^2)^(-1)A.
再问：并且有后面那个我还是没看懂啊~~
再答：这是因为: 如果令U=(A+B)(-B^2)^(-1),则AU=I, 从而根据逆矩阵的定义可推出A^(-1)=U.
同理，如果令V=(-B^2)^(-1)A, 则V(A+B)=I, 从而根据逆矩阵的定义可推出(A+B)^(-1)=V.
再问：好的~~ 谢谢

设n阶方阵A、B满足A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证A和A+B都可逆,并求它们的逆矩阵设A,B为n阶方阵,且2A-B-AB=E,A^2=A,证明:A-B可逆,并求其逆矩阵设B为可逆矩阵，A是与B同阶方阵，且满足A2+AB+B2=0，证明A和A+B都是可逆矩阵．设n阶方阵A和B满足条件A+B=AB,证明A-E为可逆矩阵设B是可逆矩阵,A是与B同阶的方阵才,且满足A2+AB+B2=0｛A平方B平方｝,证明A和B都是可逆矩阵. 线性代数问题.已知n阶方阵A,B,A^2+AB+B^2=0,求证A为可逆矩阵的充要条件是B为可逆矩阵设A B 为n阶矩阵,且A B AB-I 可逆证明A-B的逆可逆设A B为n阶矩阵,且A B AB-I可逆,证明：A-（B的逆）可逆设n阶方阵 A B 满足AB=BA ,（A+B)^3=0,且B可逆,证明A 可逆. 设n阶方阵A,B的乘积AB为可逆矩阵,证明A,B都是可逆矩阵设N阶矩阵A,B满足条件A+B=AB 1证明A—E是可逆矩阵,并求其逆 2证明AB＝BA 设A,B均为n阶方阵,E为单位矩阵,证明：若E-AB可逆,则E-BA也可逆,并求E-BA的逆