作业帮 > 数学 > 作业

如图，已知抛物线 （b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 07:54:02
如图，已知抛物线 （b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为        ，点C的坐标为        （用含b的代数式表示）；
（2）若b=8，请你在抛物线上找点P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你探索，在（1）的结论下，在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线 （b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C
（1）B（b，0），C（0， ）；
（2）当∠CAP=90°时，P（10，4.5）；当∠ACP=90°时，P（11，7.5）
（3）（1，4），

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；
（2）先求出b=8时点B、点C的坐标，再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可；
（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．
（1）在 中，当y=0时，x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
当x=0时，y=
∴点C的坐标为（0， ）；
当b=8时点B、点C的坐标分别为B（8，0），C（0，2），二次函数关系式为
设直线AC的解析式为
∵图象过点A（1，0），C（0，2）
∴ ，解得
∴直线AC的解析式为
当∠CAP=90°时，设直线AP的解析式为
∵图象过点A（1，0）
∴ ，
∴直线AP的解析式为
联立 与 解得 ，即此时点P坐标为（10，4.5）；
当∠ACP=90°时，设直线AP的解析式为
∵图象过点C（0，2）
∴直线AP的解析式为
联立 与 解得 ，即此时点P坐标为（11，7.5）；
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO= ．
由AQ 2 =OA•AB得：（ ） 2 =b-1．
解得：b=8±4 ．
∵b＞2，
∴b=8+4 ．
∴点Q的坐标是（1，2+ ）．
（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，
∴ ，即OQ 2 =OC•AQ．
又OQ 2 =OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即 •AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，
∴点Q的坐标是（1，4）．
∴综上可知，存在点Q（1，2+ ）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
如图，已知抛物线 （b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C 如图,抛物线y=-x²-x+2与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于点C,它的顶点为M （2013•新华区一模）如图，抛物线y=-x2-x+2与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，它的顶 如图,抛物线的顶点坐标M（1,4).且过点N（2,3）,于X轴交于A,B两点（点A在点B左侧）.与Y轴交于点C. 如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C（0,-3）,对称轴是直线x= 如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. 如图,已知抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA=4 已知,如图,抛物线Y=ax^2+3ax+c【a＞0】与Y轴交于C点,与X轴交于A,B两点,A点在B点左侧 点B的坐标为【 如图已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,且对称 如图,已知抛物线y=-3/4x^2+9/4x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C （1）求A,B,C 已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=30B． 如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧）,直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2