如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/03 16:33:34

一、当直线AB不存在斜率时,AB的方程显然是x＝－1.
　　令x^2＋2y^2＝2中的x＝－1,得：1＋2y^2＝2,∴y^2＝1/2,∴y＝√2/2,或y＝－√2/2.
　　∴此时｜AB｜＝√2.
　　很明显,点O到AB的距离＝1.∴此时S(△AOB)＝（1/2）｜AB｜×1＝√2/2.
二、当直线AB存在斜率时,令其斜率＝k,则AB的方程是：y＝k（x＋1）,即x＝y/k－1.
　　联立：x＝y/k－1、x^2＋2y^2＝2,消去x,得：（y/k－1）^2＋2y^2＝2,
　　∴（1/k^2）y^2－（2/k）y＋1＋2y^2＝2,∴（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0.
　　∵A、B都在直线x＝y/k－1上,∴可令A、B的坐标分别为（m/k－1,m）、（n/k－1,n）.
　　显然,m、n是方程（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0的根,∴由韦达定理,有：
　　m＋n＝（2/k）/（2＋1/k^2）、mn＝－1/（2＋1/k^2）.
　　∵直线AB过点（－1,0）,∴m、n异号,不妨设m＞0,则｜m｜＋｜n｜＝m－n.
　　∴此时,
　　S(△AOB)
　　＝（1/2）｜m｜＋（1/2）｜n｜＝（1/2）（m－n）＝（1/2）√［（m＋n）－4mn］.
　　自然,当［（m＋n）－4mn］有最大值时,S(△AOB)就有最大值.
　　而［（m＋n）－4mn］
　　＝（2/k）/（2＋1/k^2）＋4/（2＋1/k^2）
　　＝2/（k＋2/k）＋4/（k＋2/k）＝6/（k＋2/k）.
　　考虑到椭圆的对称性,只需要考虑k＞0就可以了,此时有k＋2/k≧2√2,
　　∴［（m＋n）－4mn］≦6/（2√2）＝（3/2）√2.
　　∴此时S(△AOB)的最大值＝（1/2）√［（3/2）√2］＝（1/4）√（6√2）.
∵64＜72,∴8＜6√2,∴2√2＜√（6√2）,∴√2/2＜（1/4）√（6√2）.
∴综合一、二,得：S(△AOB)的最大值是（1/4）√（6√2）.

如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值过点P(-根号3,0)作直线与椭圆3x^2+4y^2=12交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形AOB面积的最大值. 过点P(-根号3,0)作直线与椭圆3x^2+4y^2=12交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形AOB面积的最大值及此时过点P（0,2）作直线交椭圆X^2/2+Y^2=1于A、B两点,O为原点.当三角形AOB面积取最大值时,求直线的方程过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.椭圆中心为O.当三角形AOB面积最大时,求直线l的方过点P(-根号3,0)作直线与椭圆3x^2+4y^2=12交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形AOB面积最大值, 过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程高2数学椭圆题目过椭圆2X的平方+Y的平方=2的上焦点的直线L交椭圆于A,B两点,求三角形AOB（O为原点）的面积最大值椭圆2x的平方+y的平方=2,过椭圆一焦点的直线交椭圆于A,B两点,求三角形AOB面积的最大值过椭圆2X^2+Y^2=2上的焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,求ΔAOB(O为原点）面积的最大值. 过点P（0,2）作直线交椭圆X^2/2+Y^2=1于A、B两点,O为原点.当三角形AOB面积为2/3时,求直线的方程直线x+y-1=0与椭圆x^2/4+y^2=1 交于A、B两点,原点为O,求三角形AOB的面积