设f(x)为连续的奇函数且周期为1,∫[x:0->1]xf(x)dx=1 若F(x)=∫[v:0->x]dv∫[u:0-

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 18:34:37

设f(x)为连续的奇函数且周期为1,∫[x:0->1]xf(x)dx=1 若F(x)=∫[v:0->x]dv∫[u:0->v]du∫[t:0->u]f(t)dt
试将F(x)表示为定积分的形式,求F'(1)

由F(x)的三次积分可看出三重积分的积分区域为
V：0≤t≤u,0≤u≤v,0≤v≤x,
通过作图（略）,可改变V中变量的顺序为
V：t≤u≤v,t≤v≤x,0≤t≤x.
于是,改变积分顺序得
F(x) = ∫[v:0->x]dv∫[u:0->v]du∫[t:0->u]f(t)dt
= ∫[t:0->x]dt∫[v:t->x]dv∫[u:t->v]f(t)du
= ∫[t:0->x]dt∫[v:t->x](v-t)f(t)dv
= ∫[t:0->x][(1/2)(x^2-t^2)-(x-t)t]f(t)dt
= (1/2)(x^2)∫[t:0->x]f(t)dt - x∫[t:0->x]tf(t)dt + (1/2)∫[t:0->x](t^2)f(t)dt,
这就是F(x)的定积分表示.其次,因f(x)连续,因而其变上限积分可导,故
F‘(x) = ……= x∫[t:0->x]f(t)dt - ∫[t:0->x]tf(t)dt,
于是,
F‘(1) = ∫[t:0->1]f(t)dt - ∫[t:0->1]tf(t)dt
= ∫[t:0->1]f(t)dt - 1
再由条件f(x)为奇函数且周期为1,可得
∫[t:0->1]f(t)dt = 0,
于是,有
F‘(1) = -1.
注：1. 因为仓促难免细节出错,但解法应该是这样的,关键在于改变积分顺序；
2. 感谢zqf357565022的补充.

设f(x)为连续的奇函数且周期为1,∫[x:0->1]xf(x)dx=1 若F(x)=∫[v:0->x]dv∫[u:0- 设f(x)为连续函数,且满足设f(x)=x+∫(0,1)xf(x)dx,求f(x) 设f''(x)在[0,1]上连续,f'(1)=0,且f(1)-f(2)=2,则∫(0,1)xf''(x)dx= 设f''(x)在[0,1]连续,且f(0)=1,f(2)=3,f'(2)=5,求∫[0,1]xf''(2x)dx 设当x>0时,函数f(x)连续且满足f(x)=x+∫(1,x)1/xf(t)dt,求f(x) 设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明:∫(a~a+T)f(x)dx=∫(0~T)f(x)dx 设f(x)在[0,1]上有连续的导数且f(1)=2,∫f(x)dx(1,0)=3,则∫xf'(x)dx(1,0)=? 设f(x)是[0,1]上的连续函数且f(x)=x^2 +不定积分(下限0,上限1)∫xf(x)dx 一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f( 设f(x)为单调函数,且∫f(x)dx=F(x)+c,则∫f^-1(x)dx=xf^-1(x)-F(f^-1(x))+c 设f(x)为连续函数,且满足f(x)=3x^2-x∫（1,0）f(x)dx求f(x) 设f(x)连续则d∫(0,2x)xf(t)dt/dx=?